Demuestra que $\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^q \right)^{1/q}$ es una función decreciente de $q$ para $q>0$

Question

Sea $\{a_n\}$ sea una secuencia de números reales no negativos tal que $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^q$ es convergente . Entonces demuestre que $\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^q \right)^{1/q}$ es una función decreciente de $q$ para $q>0$

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Dado que $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n^q$ es convergente por lo tanto $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^q=c, c>0$ entonces $\left(\sum_{n = 1}^{\infty} a_n^q \right)^{1/q}=c^{1/q}$ . Ahora bien $c>1$ entonces $c^{1/q}$ es función decreciente de $q$ pero si $0<c<1$ entonces $c^{1/q}$ es función creciente de $q$ .

Answer 1

Como dijo D F en el comentario, $$\sum_{j = 1}^\infty a_j^q = c(q),$$ así que tu argumento no funciona. Para $p < q$ tenemos $$\frac{|a_j|}{\|a\|_{q}} \le 1, \quad \text{for }~\|a\|_{q} = \left(\sum_{j = 1}^\infty a_j^q\right)^{1/q}.$$ Por lo tanto, $$\left|\frac{a_j}{\|a\|_q}\right|^q \le \left|\frac{a_j}{\|a\|_q}\right|^p,$$ y concluyes el enunciado sumando.