Ignorando todas las constantes físicas, quiero demostrar que la distribución de Maxwell-Boltzmann $e^{-|v|^2}dv$ minimiza la función de entropía $\int_{\mathbb{R}^3} f\log f\,dv$ entre todas las distribuciones de probabilidad con la misma masa, momento y energía, es decir, los momentos 0, 1 y 2 son fijos. Esto es lo que tengo: puesto que para cualquier $\varphi\in C^\infty_c(\mathbb{R}^3)$ con momentos de orden 0,1,2 evanescentes, tenemos $0=\frac{d}{d\epsilon}\bigg|_{\epsilon = 0}\int (f+\epsilon\varphi)\log(f+\epsilon\varphi)dv = \int\varphi(\log f +1)dv$ . ¿Cómo obtengo ahora la ecuación de Euler-lagrange para $f$ ? Esto suena como un trabajo para los multiplicadores de Lagrange, pero no me queda claro cómo implementarlo.
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No estoy seguro de si esto es lo que buscas, pero aquí tienes cómo imponer los multiplicadores de Lagrange. Queremos maximizar
$$ S=-\int dv \ f(v) \ln f(v) $$
Estoy usando $dv=dv_x dv_ydv_z$ y $v=\vec{v}$ . Implementación de las restricciones como multiplicadores de Lagrange $\lambda$ tenemos
$$ S=-\int dv \ f(v) \ln f(v) + \lambda_0 \left( \int dv \ f(v)-m_0 \right) + \lambda_{1,j} \left( \int dv \ v_j f(v)-m_{1,j} \right)+ \lambda_2 \left( \int dv \ v^2f(v)-m_2 \right) $$
Les $m_n$ son los enésimos momentos que has especificado. Debemos tener $m_0=1$ . He tenido que etiquetar los componentes de velocidad con $j$ ya que esta no es la distribución de velocidad. Creo que la distribución de Maxwell se define como el máximo de entropía con energía fija solamente, así que realmente no deberíamos tener la restricción $\lambda_1$ . Dejándolo por ahora, toma la derivada con respecto a. $f$
$$ \partial_fS=-\int dv \ \ln f(v) - \int dv \ +\lambda_0 \int dv + \lambda_{1,j}\int dv \ v_j+\lambda_2\int dv \ v^2=0 \\ \partial_fS=-\int dv \ \left( \ln f +1-\lambda_0-\lambda_{1,j}v_j-\lambda_2v^2\right)=0 $$
Fijando el integrando igual a $0$ y resolviendo para $f$
$$ f(v)=\exp(-1+\lambda_0+\lambda_{1,j}v_j+\lambda_2v^2)=A \exp(\lambda_{1,j}v_j+\lambda_2v^2) $$
He introducido la constante $A$ para simplificar. Ahora se resuelve para el $\lambda$ (y $A$ ) imponiendo las restricciones:
$$ 1=\int dv \ A \exp(\lambda_{1,j}v_j+\lambda_2v^2) \\ m_{1,k} =\int dv \ v_k A \exp(\lambda_{1,j}v_j+\lambda_2v^2) \\ m_2 = \int dv \ v^2 A \exp(\lambda_{1,j}v_j+\lambda_2v^2) $$
En principio, se hacen las integrales, se obtienen ecuaciones simultáneas para el $\lambda$ y resolverlos. Aquí, creo que la simetría por sí sola dicta que $\lambda_{1,j}=0$ y así $m_{1,k}=0$ . Suponiendo que sea así, tenemos
$$ 1=\int dv \ A \exp(\lambda_2v^2) \\ m_2 = \int dv \ v^2 A \exp(\lambda_2v^2) $$
La primera integral es un producto de Gaussianas. La segunda puede evaluarse en $v$ coordenadas. En cualquier caso, que existan soluciones para $A$ y $\lambda_2$ justifica la forma funcional que busca. Encuentro
$$ A=\left( \frac{3}{2 \pi m_2} \right)^{3/2} \\ \lambda_2 = -\frac{3}{2m_2} $$
