Lo que está sucediendo en$a=-1$$\int x^a dx$?

Question

Si tomamos la de la derecha el límite de

$$\lim_{a\to-1}\int x^a dx=\lim_{a\to-1}\frac{x^{a+1}}{a+1}=+\infty$$

pero en el otro lado

$$\int\lim_{a\to-1} x^a dx=\ln x$$

Soy consciente de que no puede viajar en el límite de la integral, pero me gustaría todavía como una explicación aquí. Para mí esto es análogo a alguien diciendo: "El derecho límite de $1/x$ $+\infty$ y el de la izquierda es $-\infty$ pero $1/0$ $7$ (o algo así)"

Hay una explicación intuitiva a partir de esta ruptura en la continuidad?

Answer 1

Si $z>y>0$, luego $$\lim \int_y^x^dx = \lim \frac {z^{+1} - y^{+1}} {+1} \\ = \lim \left(\frac {\exp ((a+1)\log z) - \exp 0} {+1} - \frac{\exp((a+1)\log y) - \exp 0} {+1} \right) = \log z - \log y$$ by definition of what $\exp'(0)=1$ significa.

Por lo $\lim \int_y^z x^a dx = \int_y^z x^{-1} dx$, por lo que la función de $a \mapsto \int_y^z x^a dx$ es continua en a $a= -1$ .

En su "elección" de las integrales indefinidas, se trató de elegir alternativamente $y=0$ $z$ variar (por $a > -1$) ; y, a continuación, elija $z= \infty$ $y$ variar (por $a < -1$). Así que esta es la razón por la que consiguió una tontería cuando miró en $a=-1$

Answer 2

Por CIERTO, y asumiendo $\;x>0\;$:

$$\lim_{a\to-1}\frac{x^{a+1}-1}{a+1}\stackrel{l'H}=\lim_{a\to-1}x^{a+1}\log x=\log x\neq 0\;\;,\;\;\text{provided}\;\;x\neq 1$$

así que en realidad se trata de el mismo en ambos.

Se puede ver donde se hizo la integración constante de la patada?

Answer 3

El segundo, es decir, calcular la integral de la $x^a$$a \to -1$. Bien sabemos que este límite es muy claramente, a $\frac{1}{x}$. Así que ¿cuál es la integral de la $\frac{1}{x}$. Es sólo $ln(x)$.