En su libro Algebraic Geometry, Hartshorne define la gavilla de estructura de $\text{Spec} A$ el conjunto de funciones $s:U\to\coprod_{p\in U}A_p$ tal que $s(p)\in A_p$ y $s$ es localmente un cociente de elementos de $A$ es decir, para cada $p\in U$ existe una vecindad abierta de $p$ (decir $V$ ) tal que para todo $q\in V$ tenemos $s(q)=a/f$ donde $f\notin q$ . No estoy seguro de entender esta última parte. Si $s(p)\in A_p$ para todos $p\in U$ ¿no significa eso que $s(q)\in A_q$ y, por lo tanto, tiene automáticamente el aspecto siguiente $a/f$ con $f\notin q$ ? Quizás no estoy entendiendo lo que se quiere decir con $s(q)$ ?
Respuesta
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La pregunta fue respondida por Arthur en el comentarios . He aquí una definición más formal de la gavilla de estructura que debería aclararlo mejor:
$$\mathcal{O}(U) = \left\{s \in \prod_{\mathfrak{p} \in U} A_{\mathfrak{p}} : s \text{ is locally consistent}\right\},$$
donde " $s$ es localmente coherente" se define por
$$\forall \mathfrak{p} \in U ~ \exists a,f \in A ~ \forall \mathfrak{q} \in U \cap D(f).~ s(\mathfrak{q})=a/f$$ Una definición alternativa es $$\mathcal{O}(U) = \varprojlim_{D(f) \subseteq U} \, A[f^{-1}].$$
