Coeficiente de $x^{n-1}$ en la expansión dada

Question

El problema al que me enfrento es que con cada trimestre, el número de formas de conseguir $x^{n-1}$ está aumentando, por lo que cada vez es más difícil agrupar todos los casos. Le agradecería que nos diera su opinión.

Answer 1

Sea $a=x+3$ y $b=x+2$ . Tenga en cuenta que $$a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)(a^n +a^{n-1}b+\cdots +b^n).$$ En nuestro caso tenemos $a-b=1$ . Así que queremos el coeficiente de $x^{n-1}$ en las expansiones de $(x+3)^{n+1}$ y $(x+2)^{n+1}$ . No son difíciles de calcular. El primero es $3^2\binom{n+1}{2}$ y la segunda es $2^2\binom{n+1}{2}$ . Resta.

Answer 2

Observe que

$$A^{n+1}-B^{n+1}=(A-B)(A^n+A^{n-1}B+\ldots+AB^{n-1}+B^n)$$

y ahora pon $\;A=x+3\,,\,\,B=x+2\;$