medida conjunto cero, como conjunto de discontinuidades de una función, integrales

Question

Estoy aprendiendo sobre integrales y tengo algunas preguntas. Este problema consiste en demostrar que dos funciones integrables $f,g:[a,b] \to \mathbb{R}$ son tales que el conjunto $$ X = \{x:f\left( x \right) \ne g\left( x \right)\} $$ tiene medida cero, entonces $$ \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}\;. $$ Es claramente equivalente demostrar que la integral $ \int\limits_a^b {h\left( x \right)dx} =0$ donde $ h(x) = 0 $ para todos $x \in [a, b]$ excepto un conjunto de medida cero.

Answer 1

Su última observación es correcta. Para completar tu pensamiento, denota $ Y = [a,b] \setminus X $ .

Entonces $$ \int^b_a h(x) dx = \int_Y h(x) dx + \int_X h(x) =0.$$

La primera integral es $0$ porque en $Y$ , $h(x)=0.$ La segunda integral es $0$ porque estás integrando sobre un conjunto de medidas $0.$

---

La integral de una función simple no negativa $ s(x) = \sum_{k=1}^n a_k 1_{A_k} $ donde $\bigcup A_k = X $ se define como $\int_X s \ d\mu = \sum_{k=1}^n a_k \mu(A_k).$ Así, la integral de toda función simple sobre un conjunto de medida $0$ es $0$ .

Para funciones arbitrarias no negativas, la integral se define como la suma de las integrales de las funciones simples que la aproximan por abajo, por lo que la integral es $0$ de nuevo aquí.

Para funciones de valor real arbitrario, la integral se define en términos de funciones no negativas:

$$ \int_X f \ d\mu = \int_X f^+ \ d\mu - \int_X f^- \ d\mu $$

donde $f^+, f^- $ son las partes positiva y negativa de $f$ . Así, aquellos obtienen integral $0$ también.

Answer 2

Si ambas funciones son integrables, entonces ambas están acotadas , de modo que su diferencia $h(x)$ también está acotada por, digamos, M. Entonces el valor de la integral está acotado por el producto $M(m(Supp(h(x))$ donde $Supp(h(x)):=x:h(x) \neq 0$ . Pero, por definición, este último tiene medida cero, por lo que puede ser cubierto por una colección intervalos de medida $\frac {e}{2^n} $ con medida total $e$ de modo que el valor de la integral está acotado por encima de $Me$ Toma $e$ ser $\frac {e}{M}$ para que $Me$ =e.

Hay un evidente uso autorreferencial problemático de e en la última línea, pero creo que la idea está clara; avísame si no es así.