¿El recubrimiento abierto de un compacto siempre contiene un r-vecindario del compacto?

Question

Supongamos que tengo $O$ construido a partir de un número finito de bolas abiertas, con $O$ una cobertura de un conjunto compacto $C.

¿$O$ necesariamente contiene un vecindario $\epsilon$ de $C$?

Creo que sí, con un $\epsilon$ potencial definido como

$\epsilon = \min_{x \in \bar{C}} \epsilon_x$

con, para una constante $k > 0$,

$\epsilon_x = \max(\epsilon : \epsilon \le k, B(x,\epsilon) \in O)$

Suelo trabajar con $\mathbb{R}^k$ pero también serían bienvenidos resultados más generales.

Answer 1

Si un espacio métrico es compacto y $\cal U$ es un recubrimiento abierto del mismo, entonces existe un $\epsilon > 0$ tal que para todos los elementos $x$ del espacio, hay algún $U\in \cal U$ tal que $B_\epsilon(x)\subseteq U.$ Esto es el llamado número de Lebesgue del recubrimiento.

Answer 2

Para definir lo que es un $\epsilon$-entorno de un conjunto, necesitas alguna noción de distancia.

Cualquier espacio métrico es un espacio de Hausdorff. Si $Y$ es un subespacio compacto de un espacio de Hausdorff y $x \not \in Y$, entonces existen conjuntos abiertos disjuntos $U$ y $V$ que contienen a $x$ y a $Y$ respectivamente.

Utilizando todos esos resultados, finalmente podemos definir nuestro $\epsilon$. Considera todos los puntos $x$ en el complemento de la cobertura $O$. La cantidad: $$\epsilon_m = \min_x \{ d(C, x) \} $$ Siempre está bien definida y mayor que cero. Si fuera cero, habría un $x$ con distancia cero entre él mismo y $C$, pero esto contradice el hecho de que hay dos conjuntos abiertos disjuntos que los separan.

Puedes comprobar por ti mismo que todos los números en el intervalo $(0, \epsilon_m)$ pueden ser utilizados para definir un $\epsilon$-entorno de $C$ contenido en $O$.

El problema con este enfoque es que no funcionará con espacios topológicos que no sean espacios de Hausdorff.