Extensión de una función uniformemente continua entre espacios métricos

Question

Sea $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ sean espacios métricos con $(Y,d_Y)$ completo. Sea $A\subseteq X$ . Necesito demostrar que si $f:A\to Y$ es uniformemente continua, entonces $f$ puede ampliarse de forma única a $\bar{A}$ manteniendo la continuidad uniforme.

Mi intento ha consistido en tomar cada punto $a\in \bar{A}-A$ y formando una sucesión de Cauchy hasta ella considerando bolas abiertas $B_{\frac{1}{n}}(a)-B_{\frac{1}{n+1}}(a)$ empezando por $n$ suficientemente grande para que exista tal secuencia, y definiendo $g(a)$ sea el límite en $Y$ . La unicidad parece obvia simplemente pensando en la unicidad de los límites (refiriéndose a la secuencia en $Y$ ), pero tengo que admitir que no sé cómo demostrarlo rigurosamente. La continuidad uniforme parece natural, pero tampoco sé cómo demostrarla.

Esto parece ser correcto, pero no estoy del todo seguro... Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Quizá quiera ver las respuestas a esta pregunta, que responden a la suya, Extensión de una función por continuidad a partir de un subconjunto denso de un espacio .

Yo mismo construí la prueba basándome en Srivatsan's respuesta a esa pregunta. Si alguien aún la necesita, aquí va:

Teorema

Si $X$ y $Y$ son espacios métricos y $f:S \to Y$ es uniformemente continua con $S$ denso en $X$ y $Y$ es completa, entonces existe una extensión continua única de $f$ en $\overline{S}$ que por cierto es uniformemente continua.

Prueba

Sea $d$ y $D$ sea la métrica de $X$ y $Y$ respectivamente.

Sea $g:\overline{S} \to Y$ viene dada por $g(a) = \lim f(x_n)$ donde $(x_n)$ es cualquier secuencia de puntos en $S$ con $x_n \to a$ .

$g$ está bien definida:

• $\lim f(x_n)$ existe:

  Sea $\varepsilon > 0$ . Debido a la continuidad uniforme de $f$ existe $\delta>0$ tal que para cada $a,b \in S$ si $d(a,b) < \delta$ entonces $D(f(a),f(b)) < \varepsilon$ .

  Desde $x_n \to a$ , $(x_n)$ es Cauchy, existe $N \in \mathbb{Z}^{+}$ tal que si $n,m \geq N$ , $d(x_n,x_m)<\delta$ .

  Por lo tanto, si $n,m \geq N$ , $D(f(x_n),f(x_m))<\varepsilon$ . Entonces $(f(x_n))$ es Cauchy, y como $Y$ está completo, $\lim f(x_n)$ existe.

• Si $x_n \to a$ y $y_n \to a$ entonces $\lim f(x_n) = \lim f(y_n)$ :

  Sea $(z_n) = (x_1,y_1,x_2,y_2,...)$ . Si $\varepsilon>0$ existe $N \in \mathbb{Z}^{+}$ con $d(x_n,a) < \varepsilon$ y $d(y_n,a) < \varepsilon$ para cada $n \geq N$ .

  Por consiguiente, si $n \geq 2N$ entonces $n/2,(n+1)/2 \geq N$ y así, si $n$ es par, $d(z_n,a) = d(y_{n/2},a) < \varepsilon$ y si $n$ es impar, $d(z_n,a) = d(y_{(n+1)/2},a) < \varepsilon$ . Por lo tanto $z_n \to a$ .

  Así que.., $\lim f(z_n)$ existe y puesto que $(f(x_n))$ y $(f(y_n))$ son sucesiones de $(f(z_n))$ , $\lim f(x_n) = \lim f(z_n) = \lim f(y_n)$ .

$g$ es una extensión de $f$ :

• Si $a \in S$ , $a \to a$ Por lo tanto $g(a) = \lim f(a) = f(a)$ .

$g$ es uniformemente continua:

• Sea $\varepsilon > 0$ . Desde $f$ es uniformemente continua, existe $\delta > 0$ tal que $D(f(a),f(b))<\varepsilon/3$ para cada $a,b \in S$ con $d(a,b)<\delta$ .

  Sea $a,b \in \overline{S}$ con $d(a,b)<\delta/3$ .

  Existen secuencias en $S$ , $(x_n)$ y $(y_n)$ con $x_n \to a$ y $y_n \to b$ . Desde $x_n \to a$ y $y_n \to b$ existe $N_1 \in \mathbb{Z}^{+}$ con $d(x_n,a)<\delta/3$ y $d(y_n,b)<\delta/3$ para cada $n\geq N_1$ .

  Si $n \geq N_1$ , $d(x_n,y_n) \leq d(x_n,a) + d(a,b) + d(b,y_n) < \delta$ y así, $D(f(x_n),f(y_n)) < \varepsilon/3$ .

  Además, puesto que $f(x_n) \to g(a)$ y $f(y_n) \to g(b)$ existe $N_2 \in \mathbb{Z}^{+}$ con $D(f(x_n),g(a))<\varepsilon/3$ y $D(f(y_n),g(b))<\varepsilon/3$ para cada $n\geq N_2$ .

  Entonces, si $N=\max\{N_1,N_2\}$ , $D(g(a),g(b)) \leq D(g(a),f(x_N)) + D(f(x_N),f(y_N)) + D(f(y_N),g(b)) < \varepsilon.$

$g$ es única:

• Si $h$ es una extensión continua de $f$ en $\overline{S}$ y $a\in \overline{S}$ existe una secuencia $(x_n)$ en $S$ con $x_n \to a$ . Desde $h$ es continua, $h(x_n) \to h(a)$ . Pero $(h(x_n)) = (f(x_n))$ y $f(x_n) \to g(a)$ entonces $h(a) = g(a)$ debe aguantar.

Answer 2

Si $ a \in \overline{A} $ entonces $ a = \lim_n a_n $ donde $ a _n \in A $ . Entonces, $ a_n $ es Cauchy y como $ f $ es uniformemente continua n $ A $ , $ f(a_n) $ es Cauchy y como $ (Y,d´) $ se puede definir $ f(a) : = \lim_n f(a_n) $ . Por ejemplo, si $ b \in A $ tienes que \begin{eqnarray} d(f(a),f(b)) &\le& d(f(a_n),f(b)) + d(f(a),f(a_n)) \end{eqnarray} y por la definición de continuidad uniforme está claro que la extensión de $f$ es uniformemente continua. Análogamente, si $ b \in \overline{A}, b =\lim_n b_n $ donde $ b_n \in \overline{A} $ y \begin{eqnarray} d(f(a),f(b)) &\le& d(f(a_n),f(a)) + d(f(b_n),f(a_n)) + d(f(b_n), f(b)) \end{eqnarray}

Answer 3

[Salvo algunos detalles, esta respuesta es idéntica a la de Carlos Pinzón.]

Sea ${ X,Y }$ sean espacios métricos y ${ A (\subseteq X ) \overset{f}{\to} Y }$ un mapa continuo. Ambos ${ d _X, d _Y }$ se denotará por ${ d }$ por brevedad.

Se plantea la siguiente cuestión. ¿Podemos imponer una restricción "suficientemente general" tal que : Existe un único mapa continuo ${ \overline{A} \overset{\overline{f}}{\to} Y }$ con la propiedad ${ \overline{f} \vert _{A} = f }$ ?

Resulta imponente que ${ f }$ es uniformemente continua y ${ Y }$ es completa lo hará. Además, en este caso ${ \overline{f} }$ es uniformemente continua.

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${ \underline{ \textbf{Defining} \text{ } \overline{f} } }$

Por cada ${ p \in \overline{A}, }$ existe una seq ${ (x _n) \subseteq A }$ con ${ d(x _n, p) \to 0 }.$

Sea ${ p \in \overline{A} }.$ Por cada ${ n \in \mathbb{Z} _{\gt 0} },$ elige un ${ x _n \in A }$ con ${ d(x _n, p) \lt \frac{1}{n} }.$

Así que si nos aseguramos de que

${ {\color{purple}{(1)}} }$ Si ${ (x _n) \subseteq A }$ y ${ d(x _n, p) \to 0 }$ para algunos ${ p \in X }$ entonces ${ \lim _{n \to \infty} f(x _n) }$ existe
${ {\color{purple}{(2)} } }$ Si ${ \lbrace (x _n) \subseteq A; d(x _n, p) \to 0 \rbrace }$ y ${ \lbrace (y _n) \subseteq A; d(y _n, p) \to 0 \rbrace }$ para algunos ${ p \in X }$ entonces ${ \lim _{n \to \infty} f(x _n) = \lim _{n \to \infty} f(y _n) }$

entonces podemos definir un mapa ${ \overline{A} \overset{\overline{f}}{\to} Y }$ naturalmente por : Sea ${ p \in \overline{A} }.$ Elige un ${ (x _n) \subseteq A }$ con ${ d(x _n, p) \to 0 },$ y establece ${ \overline{f}(p) := \lim _{n \to \infty} f(x _n) }.$

Garantizar ${ {\color{purple}{(1)} } }$ : Sea ${ (x _n) \subseteq A }$ y ${ d(x _n, p) \to 0 }$ para algunos ${ p \in X }.$ Así que ${ (x _n) }$ es Cauchy. Así que imponiendo que ${ f }$ es uniformemente continua asegura ${ (f(x _n)) }$ es Cauchy.

Sea ${ \epsilon \gt 0 }.$ Elige ${ \delta \gt 0 }$ tal que ${ x,y \in A },$ ${ d(x,y) \lt \delta }$ implica ${ d(f(x), f(y)) \lt \epsilon }.$ Elige ${ N }$ tal que ${ d(x _m, x _n) \lt \delta }$ siempre que ${ m, n \geq N }.$ Ahora ${ d(f(x _m), f(x _n)) \lt \epsilon }$ siempre que ${ m, n \geq N }.$

Imponiendo además que ${ Y }$ es completa garantiza ${ (f (x _n)) }$ es convergente.

Garantizar ${ {\color{purple}{(2)} } }$ : Diga ${ f }$ es uniformemente continua y ${ Y }$ es completa, lo que garantiza ${ {\color{purple}{(1)} } }.$ Sea ${ (x _n), (y _n) \subseteq A }$ con ${ d(x _n, p) \to 0 },$ ${ d(y _n, p) \to 0 }$ para algunos ${ p \in X }.$ Así que ${ \lim _{n \to \infty} f(x _n) = \ell _1 }$ y ${ \lim _{n \to \infty} f(y _n) = \ell _2 }$ existir. Mostraremos ${ \ell _1 = \ell _2 }.$
En ${ d(\ell _1, \ell _2) }$ ${ \leq \underbrace{ d(\ell _1, f(x _n)) } _{\to 0} }$ ${ + d(f (x _n), f(y _n)) }$ ${ + \underbrace{ d(f(y _n), \ell _2) } _{\to 0} },$ basta con demostrar ${ d(f(x _n), f(y _n)) \to 0 }.$

Sea ${ \epsilon \gt 0 }.$ Elige ${ \delta \gt 0 }$ tal que ${ x,y \in A, }$ ${ d(x,y) \lt \delta }$ implica ${ d(f(x), f(y)) \lt \epsilon }.$
En ${ d(x _n, y _n) }$ ${ \leq d(x _n, p) + d(p, y _n) \to 0 },$ tenemos ${ d(x _n, y _n) \to 0 }.$ Así que elige ${ N }$ tal que ${ d(x _n, y _n ) \lt \delta }$ para todos ${ n \geq N }.$ Ahora ${ d(f(x _n), f(y _n)) \lt \epsilon }$ para todos ${ n \geq N },$ según sea necesario.

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${ \underline{ \textbf{Properties of} \text{ } \overline{f} } }$

A partir de ahora, ${ A \overset{f}{\to} Y }$ es uniformemente continua y ${ Y }$ está completo, y ${ \overline{A} \overset{\overline{f}}{\to} Y }$ es como se ha definido anteriormente.

Nota ${ \overline{f} \vert _{A} = f }.$ Mostraremos ${ \overline{f} }$ es uniformemente continua.
Sea ${ \epsilon \gt 0 },$ y ${ p, q \in \overline{A} }.$ Queremos un ${ \delta \gt 0 }$ independiente de ${ p,q },$ tal que ${ d(p,q) \lt \delta }$ implica ${ d(\overline{f}(p), \overline{f}(q) ) \lt \epsilon }.$

Elige ${ \eta \gt 0 }$ tal que ${ x,y \in A, d(x,y) \lt \eta }$ implica ${ d(f(x), f(y)) \lt \frac{\epsilon}{10} }.$
Mostraremos ${ \delta := \frac{1}{10} \min\lbrace \epsilon, \eta \rbrace }$ funcionará.

Supongamos que ${ {\color{green}{d(p,q) \lt \delta}} }.$
Elegir secuencias ${ (x _n), (y _n) \subseteq A }$ con ${ d(x _n, p) \to 0 },$ ${ d(y _n, q) \to 0 }.$ Ahora ${ d(f(x _n), \overline{f}(p)) \to 0 }$ y ${ d(f(y _n), \overline{f}(q)) \to 0 }$ también.
Así que elige una ${ m }$ tal que ${ {\color{green}{d(x _m, p)}} },$ ${ {\color{green}{d(y _m, q)}} },$ ${ {\color{green}{d(f(x _m), \overline{f}(p))}} }$ y ${ {\color{green}{d(f(y _m), \overline{f}(q))}} }$ son todos ${ {\color{green}{\lt \delta}} }.$
Ahora ${ d(\overline{f}(p), \overline{f}(q)) }$ ${ \leq d(\overline{f}(p), f(x _m)) }$ ${ + d(f(x _m), f(y _m)) }$ ${ + d(f (y _m), \overline{f}(q)) }$ ${ \leq 2\delta + {\color{red}{d(f(x _m), f(y _m))}} . }$
Pero como ${ d(x _m, y _m) }$ ${ \leq d(x _m, p) }$ ${ + d(p,q) }$ ${ + d(q, y _m) }$ ${ \lt 3 \delta \lt \eta },$ tenemos ${ {\color{red}{d(f (x _m), f(y _m)) \lt \frac{\epsilon}{10}}} }.$ Esto da ${ d(\overline{f}(p), \overline{f}(q)) }$ ${ \leq 2\delta + \frac{\epsilon}{10} }$ ${ \lt \epsilon }.$
Por último ${ d(\overline{f}(p), \overline{f}(q)) \lt \epsilon },$ según sea necesario.

[Esto demuestra que podríamos haber puesto ${ \delta := \frac{1}{3} \min \lbrace \epsilon, \eta \rbrace }$ para empezar. Pero ${ \frac{1}{10} }$ era un "factor más seguro" para llevar a cabo las estimaciones]

[Unicidad] Supongamos ${ \overline{A} \overset{g}{\to} Y }$ es continua y ${ g \vert _{A} = f }.$ Vemos ${ g = \overline{f} }$ :
Sea ${ p \in \overline{A}. }$ Elija una secuencia ${ (x _n) \subseteq A }$ con ${ d(x _n, p) \to 0 }.$ En ${ g }$ es continua, ${ g(p) = \lim _{n \to \infty} g(x _n) }.$ Pero ${ g(x _n) = f(x _n) }$ y ${ \overline{f}(p) = \lim _{n \to \infty} f(x _n). }$ Así que ${ \overline{f}(p) = g(p) },$ según sea necesario.