Tuviste la idea correcta, pero este parece ser un problema bastante difícil. Mi solución depende de un resultado no trivial sobre la mediana de la distribución gamma. Probablemente mi respuesta no sea tan satisfactoria, ya que parece poco probable que los participantes en un concurso de matemáticas sepan estas cosas de memoria. Espero que a alguien más se le ocurra un argumento más elemental.
Edita: He decidido ofrecer una recompensa por esta pregunta, ya que tengo muchas ganas de ver una solución más sencilla. Ofrezco 100 puntos a quien sea capaz de demostrar que $$\int_{0}^{n}e^{-t}\left(1 + t + {t^2\over 2!} + \ldots + {t^{n} \over n!}\right)dt > {n\over 2}$$ para todos los enteros positivos $n$ de una manera más sencilla y coherente con el espíritu de un concurso de matemáticas. Sé que se trata de un requisito un tanto subjetivo, lo que busco es un argumento que un brillante estudiante de primer año de cálculo pueda elaborar sin acceso a internet u otros materiales de investigación.
Mi solución:
Fue una buena idea definir $G(x)=F(x)-{n \over 2}$ . Podemos utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo para calcular la derivada de $G(x)$ . El resultado es $$G^{'}(x)=e^{-x}(1+x+{x^2 \over 2!}+{x^3 \over 3!}+\ldots + {x^n \over n!})$$ Reclamación: $G^{'}(x) > 0$ $\forall x \in [{n \over 2}, n]$
Prueba
Desde $e^{-x}$ es positivo para todo $x$ Esto depende de si $$p_n(x) = 1 + x +\ldots + {x^n \over n!} > 0$$ . Dado que se trata del intervalo $[{n\over 2}, n]$ por positivo $n$ todos los términos de esta suma son positivos para $x$ en nuestro intervalo. Así $p_n(x)>0$ para $x \in [{n \over 2}, n]$ .
Así, hemos demostrado que $G^{'}(x) > 0$ para $x \in [{n \over 2}, n]$ . $\square$
Esto demuestra que $G(x)$ es monotónicamente creciente. Ahora nos fijamos en $G({n \over 2})$ .
Reclamación: $G({n \over 2}) < 0$ .
Prueba.
Desde $1 + x + \ldots + {x^n \over n!} < e^x$ para todo positivo $x \in \mathbb{R}$ . $$G({n \over 2}) = \int_{0}^{{n \over 2}}e^{-t}(1 + t +\ldots + {t^n \over n!})dt - {n \over 2}$$
$$< \int_{0}^{{n \over 2}}e^{-t}e^{t}dt - {n \over 2} < {n \over 2} - {n \over 2} = 0$$
$\square$
A continuación consideramos $G(n)$ .
Reclamación: $G(n)>0$ .
Prueba.
Esta es la parte difícil
$$G(n) = \int_{0}^{n}e^{-t}p_n(t)dt - {n \over 2}$$
$$p_n(x) = e^{x} - R_n(x) = e^{x} - \int_{0}^{x}{e^{t} \over n!}(x-t)^ndt$$
donde hemos aplicado la fórmula de Taylor con la forma de Cauchy para el resto.
Por lo tanto
$$G(n) = \int_{0}^n\left(1 - e^{-t}\int_{0}^{t}{e^{u}\over n!}(t - u)^ndu\right) dt - {n\over 2}$$
$$ = \int_{0}^n\left(1 - \int_{0}^{t}{e^{u-t}\over n!}(t - u)^ndu\right) dt - {n\over 2}$$
Realizar el cambio de variables $v = t - u$ en la integral interna obtenemos $$ G(n) = \int_{0}^n\left(1 - {1\over n!}\int_{0}^{t}e^{-v}v^ndv\right) dt - {n\over 2} = \int_{0}^{n}1 - {\gamma(n+1,t) \over n!}dt - {n \over 2}$$
Dónde $\gamma(s,x)$ es el función gamma incompleta . $\gamma(s,x)$ es complementaria de $\Gamma(s,x)$ la función gamma superior incompleta. $\gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s)$ la función gamma estándar. Aplicando este hecho se obtiene $$G(n) = {1\over n!}\int_{0}^{n}\Gamma(n+1,t)dt - {n \over 2}$$
Desde $\Gamma(n+1,t)$ es una función decreciente en $t$ para fijo $n$ tenemos $$G(n) > n{\Gamma(n+1,n)\over n!} - {n \over 2}$$
La integral es mayor que el valor mínimo del integrando en el intervalo en cuestión multiplicado por la longitud del intervalo.
Ahora echemos un vistazo al Distribución Gamma . En particular, queremos considerar la distribución $Gamma(n+1,1)$ que tiene función de distribución acumulativa $$f(x) = {\gamma(n+1,x) \over n!}.$$
Dónde $x \in (0,\infty)$ .
Así, si $X$ es una variable aleatoria extraída de esta distribución, entonces $$P(X < x) = {\gamma(n+1,x) \over n!}$$ También tenemos $$P(X > x) = {\Gamma(n+1,x) \over n!}$$ Lo que se deduce de la naturaleza complementaria de las funciones gamma incompletas.
Según este papel la mediana $\nu$ de $Gamma(n+1,1)$ satisface $$n + {2 \over 3} < \nu < n + \ln (2)$$ .
En concreto, nos dice que $n$ es menor que la mediana de la distribución. Así,
$${\Gamma(n+1,n) \over n!} = P(X > n) > {1 \over 2}$$
que nos dice que $$G(n) > n{\Gamma(n+1,n) \over n!} - {n \over 2} > {n\over 2} - {n\over 2} = 0$$ $\square$
Hemos demostrado que $G(x)$ aumenta de forma estrictamente monotónica en $[{n\over 2},n]$ que $G({n\over 2})$ < 0, y que $G(n) > 0$ . De ello se deduce que $G(x)$ tiene una única raíz en este intervalo. Por tanto, la ecuación $$F(x) = {n\over 2}$$ tiene una y sólo una raíz en $[{n\over 2}, n]$ .
