Notación para derivadas de grado superior

Question

La notación de Lebniz para las derivadas ordinarias como cocientes de diferenciales es un abuso conveniente de la notación, ya que permite expresar cosas como la regla de la cadena y la derivada de la función inversa de forma sugerente:

$$\frac{dz}{dx} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dz}{dy}$$

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$

donde $x,y,z$ son variables interdependientes. Este enfoque se rompe completamente con las derivadas de segundo orden y de orden superior, ya que por ejemplo la segunda derivada de la inversa es

$$\frac{d^2x}{dy^2} =-\frac{d^2y}{dx^2} \left(\frac{dy}{dx} \right)^{-3} \neq \frac{1}{\frac{dy^2}{d^2x}}$$

donde el lado izquierdo ni siquiera está definido.

Sé que el concepto de diferencial puede formalizarse, por ejemplo como variables infinitesimales en el análisis no estándar, y que esto, en cierto sentido, explica por qué funcionan estas manipulaciones formales. Sé que el concepto de diferencial de segundo grado existe, por eso sospecho que la razón por la que no funcionan en el caso de derivadas de grado superior es porque la notación debe estar "mal". Mi pregunta es

¿Es posible modificar la notación de Leibniz para las derivadas de segundo orden y de orden superior, de modo que las "reglas de diferenciación" correspondientes puedan obtenerse mediante la manipulación algebraica formal de las diferenciales $dx$ , $d^2x$ etc.?

Answer 1

Creo que has hecho mal las cuentas. Cuando utilices la notación de Leibniz, trátala siempre como dos operaciones: diferencial seguida de división. Por lo tanto, vamos a tomar el diferencial de $\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ y dividirlo por $dy$ :

$$\frac{d}{dy}\left(\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\right) = \frac{d\left(\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\right)}{dy}$$

Resolvamos $d\left(\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\right)$ utilizando $u$ -sustitución: $$ u = \frac{dy}{dx} \\ d\left(\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\right) = d(u^{-1}) \\ d(u^{-1}) = -u^{-2}du $$

Ahora tenemos la forma básica de la diferencial, así que vamos a averiguar $du$ :

$$ u = \frac{dy}{dx} \\ du = d\left(\frac{dy}{dx}\right) \\ du = \frac{dx\cdot d^2y - dy\cdot d^2x}{dx^2} \\ $$

Ahora, volviendo atrás, la forma básica del diferencial era $u^{-2}du$ . Por lo tanto, sustituyendo nuestro $u$ s y $du$ s obtenemos:

$$ d\left(\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\right) = -\left(\frac{dy}{dx}\right)^{-2}\cdot\frac{dx\cdot d^2y - dy\cdot d^2x}{dx^2} \\ = -\left(\frac{dx^2}{dy^2}\right)\cdot\frac{dx\cdot d^2y - dy\cdot d^2x}{dx^2} \\ = - \frac{dx\cdot d^2y - dy\cdot d^2x}{dy^2} \\ = \frac{dy\cdot d^2x - dx\cdot d^2y}{dy^2} \\ = \frac{d^2x}{dy} - dx\frac{d^2y}{dy^2} \\ = \frac{d^2x}{dy} - dx\cdot 0 \\ $$

Ahora le sorprenderá que $\frac{d^2y}{dy^2}$ se reduce a 0. Sin embargo, piénsalo de esta manera. Esto se lee como la "segunda derivada de y respecto a sí misma". La primera derivada de y respecto a y es $\frac{dy}{dy} = 1$ . Así que si la primera derivada es una constante, entonces la segunda derivada debe ser cero. (Para más información sobre este tema, véase la entrada de mi blog aquí )

Ahora, esto se reduce a: $$ d\left(\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\right) = \frac{d^2x}{dy} \\ $$

Esta es la diferencial - para obtener la derivada dividimos por $dy$ :

$$ \frac{d}{dy}\left(\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\right) = \frac{d^2x}{dy^2} $$

Answer 2

Puede encontrar Fórmula de Faà di Bruno interesante para calcular el $n_{th}$ derivado de una composición

$$ {\left( {f \circ g} \right)^{(n)}}=\sum_{m_1+2m_2+\dots+nm_n=n} \frac{n!}{\prod_{i=1}^n m_i! (i!)^{m_i}}(\prod_{j=1}^n(g^{(i)})^{m_i}){(f^{(m_1+\ldots+m_n)}\circ g)} $$

De hecho, usted está pidiendo a la derecha abajo de este complicado feo fórmula mediante una notación de Leibniz modificada, de modo que resulte sugerente como para el caso $n=1$ . Sin embargo, ¡no creo que sea posible por la naturaleza de esta complicada fórmula! Si acertamos $(1)$ en la notación original de Leibniz se convierte en

$$ {\frac{d^n f \circ g}{dx^n}}=\sum_{m_1+2m_2+\dots+nm_n=n} \frac{n!}{\prod_{i=1}^n m_i! (i!)^{m_i}} (\prod_{j=1}^n(g^{(i)})^{m_i}){(\frac{d^{(m_1+\ldots+m_n)} f}{dx^{(m_1+\ldots+m_n)}} \circ g)} $$

¡No veo nada sugerente! :)

Answer 3

El tradicional " $d^2y/dx^2$ "no es una magnitud algebraica, pero las derivadas de segundo orden y de orden superior pueden representarse como magnitudes algebraicas. la forma más legible, aunque correcta, de representar una derivada algebraica doble para $y=f(x)$ es

$$ f''=\frac{d\left[\frac{dy}{dx}\right]}{dx} $$

Esto se puede expandir utilizando la regla del cociente

$$ f''=\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy\ d^2x}{dx^3} $$

para la inversa $x=f^{-1}(y)$ la doble derivada es $$ (f^{-1})''=\frac{d^2x}{dy^2}-\frac{dx\ d^2y}{dy^3} $$

De esto podemos ver mediante álgebra que $(f^{-1})''=-f''\frac{dx^3}{dy^3}=-f''/f'^3$ que es el regla de la segunda derivada para la función inversa .