Gira la parábola $y=x^2$ en el sentido de las agujas del reloj $45^\circ$ .

Question

Usé la matriz de rotación para hacer esto y terminé con la ecuación: $$x^2+y^2+2xy+\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=0$$

He intentado trazarlo, pero ninguno de los programas de gráficos que utilizo me lo permite.

¿Es la ecuación anterior la correcta para una parábola con vértice (0,0) y eje de simetría $y=x$ ?

$$\left( \begin{array}{cc} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} x\\ y\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} X\\ Y\\ \end{array} \right)$$

Para una rotación de $\frac{\pi}{4}$ , $\sin{-\frac{\pi}{4}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}$ y $\cos{-\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$$\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} x\\ y\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} X\\ Y\\ \end{array} \right)$$

$$X=\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}$$ $$Y=\frac{-x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}$$ $$y=x^2$$ $$\left(\frac{-x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}\right)=\left(\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}\right)^2$$ $$\frac{-x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}=\frac{x^2}{2}+\frac{2xy}{2}+\frac{y^2}{2}$$ $$-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=x^2+2xy+y^2$$ $$x^2+2xy+y^2+\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=0$$

¿He cometido algún error?

Answer 1

Empecemos con la sección cónica general

$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F = 0$$

o, de forma equivalente, podemos escribirlo como

$$\begin{pmatrix} x & y & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B/2 & D/2\\ B/2 & C & E/2\\ D/2 & E/2 & F \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix}=0$$

(denotaremos la matriz 3x3 anterior con $M$ )

Entonces, digamos que te dan una sección cónica $v^\tau M v = 0$ y digamos que queremos rotarlo en ángulo $\varphi$ . Podemos representar la matriz de rotación adecuada con

$$Q_\varphi=\begin{pmatrix} \cos \varphi& -\sin\varphi & 0\\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$

Ahora, $Q_\varphi$ representa en sentido contrario a las agujas del reloj por lo que podríamos tener la tentación de escribir algo como $$(Q_\varphi v)^\tau M (Q_\varphi v) = 0$$ para obtener una sección cónica rotada por un ángulo $\varphi$ en sentido contrario a las agujas del reloj . Pero, esto realmente producirá en el sentido de las agujas del reloj rotación. Piénsalo: si $v$ debe ser un punto de la cónica rotada, entonces $Q_\varphi v$ es un punto en la cónica antes de la rotación, por lo tanto, la última ecuación en realidad significa que la nueva cónica girada en sentido contrario a las agujas del reloj producirá la antigua cónica.

Hagamos ahora su ejercicio. Tienes una cónica $y = x^2$ por lo que la matriz $M$ viene dado por $$ M =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1/2\\ 0 & -1/2 & 0\end{pmatrix}$$ y quieres rotar tu cónica en el sentido de las agujas del reloj en $\pi/4$ así que elige $$Q_{\pi/4}=\begin{pmatrix} \cos \frac\pi4& -\sin\frac\pi4 & 0\\ \sin\frac\pi4 & \cos\frac\pi4 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$

Finalmente, obtenemos la ecuación $$\begin{pmatrix} x & y & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos \frac\pi4& -\sin\frac\pi4 & 0\\ \sin\frac\pi4 & \cos\frac\pi4 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^\tau\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1/2\\ 0 & -1/2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos \frac\pi4& -\sin\frac\pi4& 0\\ \sin\frac\pi4 & \cos\frac\pi4 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix}=0$$

o simplificado $$x^2-2xy+y^2-x\sqrt 2-y\sqrt 2 = 0.$$

Answer 2

Antes de rotar (y trazar), necesitas parametrizar tu parábola:

$$\begin{cases} x(t) = t\\ y(t) = t^2 \end{cases},$$

donde $t \in \mathbb{R}.$ Usted está girando cada punto de la parábola, y por lo tanto:

$$\begin{bmatrix}X(t)\\Y(t)\end{bmatrix} = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{bmatrix}1 & -1\\1 & 1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix} = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{bmatrix}x(t)-y(t)\\x(t)+y(t)\end{bmatrix}.$$

Al final lo consigues:

$$\begin{bmatrix}X(t)\\Y(t)\end{bmatrix} = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{bmatrix}t(1-t)\\t(1+t)\end{bmatrix}.$$

Esto se puede representar en Matlab utilizando el siguiente código:

t=linspace(-3,3,100);
X=(sqrt(2)/2)*(t.*(1-t));
Y=(sqrt(2)/2)*(t.*(1+t));
plot(X,Y)

Esto es lo que obtienes:

Answer 3

Su resultado es correcto. Este es el gráfico en geogebra.org

Answer 4

Quizás esto sea forzar una matemática injustificada en la pregunta pero si quieres demostrar que el eje de simetría gira con la función entonces simplemente demuestra que $M(\theta)R(\theta)(x,y)=R(\theta)(x,y)$ donde $R$ y $M$ son matrices de rotación y reflexión respectivamente, dado que $\theta=0$ es la línea de simetría.

Answer 5

Rotación de la parábola $y=x^2$ por $\theta$ en el sentido de las agujas del reloj da $v=u^2$ donde $$\left(u\atop v\right)=\left(\cos\theta\quad-\sin\theta\atop\sin\theta\quad\;\;\;\cos\theta\right)\left(x\atop y\right)$$ es decir $$x\sin \theta+y\cos\theta=(x\cos\theta-y\sin\theta)^2$$ Poner $\theta=\frac\pi 4$ da $$\frac 1{\sqrt2}(x+y)=\left(\frac 1{\sqrt2}(x-y)\right)^2\\ \sqrt2(x+y)=(x-y)^2$$ que al expandirse es $$x^2+y^2-2xy-\sqrt2 x-\sqrt2 y=0$$