¿Por qué el rango numérico de un operador es convexo?

Question

Sea $T$ sea un operador del espacio de Hilbert. Su rango numérico es \begin{equation} W(T)=\{\langle Tx,x\rangle:\|x\|=1\}.\end{equation}

Es bien sabido que $W(T)$ es un subconjunto convexo del plano complejo. Sin embargo, todas las pruebas que conozco se basan en cálculos de fuerza bruta. Primero para $2\times 2$ matrices y, a continuación, el caso general.

A pesar de que el cálculo puede realizarse de forma ingeniosa, sigue sin ofrecer alguna explicación de por qué esto es cierto. ¿Qué relación existe entre este resultado y otros conceptos de la teoría?

Me pregunto si existe alguna explicación conceptual para este resultado. No pido que la explicación sea rigurosa, sólo algunas ideas.

Answer 1

Sea $\mathcal{H}$ sea un espacio de Hilbert complejo separable y $T$ sea un operador lineal acotado en $\mathcal{H}$ . Supongamos de antemano que, para un $2\times 2$ matriz compleja $A$ el $W(A)$ es un disco elíptico (El resultado es cierto pero no puedo mostrarlo aquí porque haría la prueba mucho más grande).

Ahora tenemos que demostrar que para cualquier $\alpha,\beta \in W(T)\implies\lambda \alpha+(1-\lambda)\beta\in W(T)$ donde $\lambda\in (0,1)$ . Sea $\alpha=\langle Tf,f\rangle$ y $\beta=\langle Tg,g\rangle$ donde $\|f\|=\|g\|=1$ . Claramente $f,g$ son vectores unitarios linealmente independientes en caso contrario, $\alpha=\beta$ . Denotemos $V=\mbox{span}\{f,g\}$ y $\dim V=2$ . Desde $V$ es cerrada, por lo que existe una proyección ortogonal $P_V$ en $V$ .

Ahora la compresión $A=P_V T|_V$ de $T$ es un operador bidimensional. Entonces, $W(A)$ es un disco elíptico según nuestra hipótesis inicial. De nuevo $\langle A f,f\rangle= \langle Tf,f\rangle=\alpha$ y $\langle A g,g\rangle= \langle Tg,g\rangle=\beta$ . Por lo tanto, $\lambda \alpha+(1-\lambda)\beta\in W(A)$ donde $\lambda\in (0,1)$ . También sabemos que $W(A)\subseteq W(T)$ . Así, $\lambda \alpha+(1-\lambda)\beta\in W(T)$ . Así obtenemos el resultado deseado.