Estoy bastante contento con este isomorfismo, pero tal vez no tanto por la prueba que utiliza el axioma de elección (aunque no me opongo particularmente a AC) sino más bien porque mi sensación es que, siempre que se utilice, lo que es realmente es una elección de isomorfismo entre el cierre algebraico de $\mathbb Q$ en $\mathbb C$ y el cierre algebraico de $\mathbb Q$ en $\overline{\mathbb Q}_{\ell}$ (y no tengo absolutamente ninguna objeción a identificar estas dos algebraicas algebraicas).
Siempre que se utilice un isomorfismo de este tipo en aritmética, y no se esté utilizando en última instancia para identificar los números algebraicos en los dos campos, creo que es bastante sin sentido. (Por ejemplo, para formas modulares de wt. $k \geq 1$ me complace identificar el espacio sobre tal $\mathbb C$ con el espacio análogo sobre $\mathbb Q_{\ell}$ ya que las formas propias cupsidales normalizadas tienen coeficientes algebraicos enteros, por lo que estos espacios tienen una $\overline{\mathbb Q}$ -Estructura. Pero tomar eigenformas de Maass no algebraicas, y pensar en sus coeficientes de Fourier como números en $\overline{\mathbb Q}_{\ell}$ Aunque técnicamente es posible, conceptualmente carece de sentido).
En mis propios trabajos suelo fijar un isomorfismo de este tipo (o incluso uno para cada $\ell$ ), pero no creo que tenga ninguna importancia más allá de la identificación de las dos copias de $\overline{\mathbb Q}$ .
Añadido: Los comentarios que siguen me han obligado a reflexionar un poco más sobre mi postura. He aquí un intento de afinarla:
Cualquier extensión generada contablemente de $\mathbb Q$ puede incrustarse en $\mathbb C$ o $\overline{\mathbb Q}_{\ell}$ , y cuando invoco, o he visto invocar, un isomorfismo entre estos dos últimos campos, pienso en ello como una abreviatura de algo como lo siguiente: en la prueba dada, un subcampo contablemente generado de $\mathbb C$ (por ejemplo, el campo generado por los valores propios de Hecke de una forma de Maass). Una vez fijado el isomorfismo entre $\mathbb C$ y $\overline{\mathbb Q}_{\ell}$ , hemos fijado en particular una incrustación de este campo en $\overline{\mathbb Q}_{\ell}$ , y por ello hemos elegido una extensión del $\ell$ -valor absoluto de este campo. (Por supuesto, se podrían intercambiar los papeles de $\mathbb C$ y $\overline{\mathbb Q}_{\ell}$ aquí).
En virtud de la fijación del isomorfismo entre $\mathbb C$ y $\overline{\mathbb Q}_{\ell}$ , uno se está asegurando de que cualquiera de estas extensiones sea compatible, si por el camino encontramos diferentes subcampos de $\mathbb C$ y esa es una gran ventaja, a la hora de escribir un argumento, de fijar tal isomorfismo de una vez por todas. Pero en la práctica no sé si uno se encuentra con algo más serio que un único subcampo contablemente generado que contenga todos los los números complejos que aparecen en la prueba. Y por lo tanto no se utiliza nada parecido a la toda la fuerza del isomorfismo.
Supongo que esto me pone en el bando de Deligne: el isomorfismo es conveniente, pero uno podría arreglárselas con algo mucho más débil, simplemente implicando subcampos contablemente generados de $\mathbb C$ .
