¿Puede encontrar un estimador para $\theta$ ? Un ejemplo natural es el estimador de máxima verosimilitud, $$\hat \theta = \max_i x_i = x_{(n)}.$$ Otro ejemplo es el estimador del método de los momentos, $$\tilde \theta = 2 \bar x,$$ es decir, el doble de la media muestral. ¿Son sesgadas o insesgadas?
Entonces, podría elegir estimadores para $1/\theta$ como $1/\hat \theta$ o $1/\tilde \theta$ . Pero, ¿cuál es la expectativa de cada uno? ¿Cómo calcular $$\operatorname{E}\left[\frac{1}{\max_i X_i}\right]?$$
Una forma sería calcular la PDF de la estadística de orden $X_{(n)}$ se define la variable aleatoria transformada $$Y = 1/X_{(n)}, \quad f_Y(y) = \frac{f_X(1/y)}{y^2}, \quad \frac{1}{\theta} \le y < \infty.$$ Esto le da la PDF del estimador $1/\hat \theta$ . Entonces $$\operatorname{E}\left[\frac{1}{\max_i X_i}\right] = \operatorname{E}[Y] = \int_{y = 1/\theta}^\infty y f_Y(y) \, dy.$$ Si $1/\hat \theta$ eran imparciales para $1/\theta$ ¿Cuál debería ser el resultado de este cálculo? Si es sesgado, ¿cómo podemos "ajustar" este estimador para que sea insesgado?
Una pista: no pruebe este método con $1/\tilde \theta$ . La PDF de la media muestral para una distribución uniforme no es una densidad agradable con la que trabajar.
