Dos morfismos poseen la misma variación de Viehweg

Question

Recordemos la definición de la variación de Viehweg insinuada a partir de Positividad débil y aditividad de la dimensión de Kodaira para ciertos espacios de fibras, E. Viehweg

Sea $f: V\rightarrow W$ sea un espacio de fibras (suryectivo con fibra geométrica conectada $V_w:=V\times_W \text{Spec }\overline{\mathbb C(W)}$ ) entre dos variedades proyectivas no singulares sobre el campo de número complejo $\mathbb C$ . Entonces, la variación de $f$ denotado por $\text{Var}(f)$ se define como el número mínimo $k$ tal que existe un subcampo $L$ de $\overline{\mathbb C(W)}$ de grado trascendental $k$ en $\mathbb C$ y una variedad $F$ en $k$ con $F\times_{\text{Spec }(L)}\text{Spec }\overline{\mathbb C(W)}$ es biracionalmente equivalente a $V_w$ .

Ahora $f: X \rightarrow Y$ sea un morfismo suryectivo entre variedades proyectivas lisas con fibras conectadas, y tenemos un diagrama conmutativo:

tal que

1. $V$ y $W$ son variedades proyectivas lisas.
2. $\alpha$ y $\beta$ son birracionales.
3. Todos los divisores g-excepcionales son $\alpha$ -excepcional.

Pregunta cómo mostrar $\text{Var}(f)=\text{Var}(g)?$

Answer 1

Dado que la definición sólo depende de la fibra general, y $\beta$ es birracional, se puede suponer que $\beta$ es en realidad un isomorfismo. Entonces $L$ se define como un subcampo con grado de trascendencia mínimo sobre $k$ tal que $F\times_{\text{Spec }(L)}\text{Spec }\overline{\mathbb C(W)}$ es biracionalmente equivalente a $V_w$ y $X_w$ respectivamente. Pero, puesto que $\alpha$ es birracional, $V_w$ y $X_w$ son birracionales, por lo que si $L$ funciona para uno, también funciona para el otro.

Una definición equivalente de ${\rm Var} f$ se da en Def 2.8 en Subaditividad de la dimensión de Kodaira: Fibras de tipo general por János Kollár. Esta definición de ${\rm Var}f$ es más cómodo y se ha convertido en la norma. Con esa versión, la declaración por la que pregunta es directa.