Demostrando que $f = 0 $ a.e. si para cualquier conjunto medible $E$ , $\int_E f = 0$

Question

Sea $(X, \mathcal{B}, \mu)$ sea un espacio de medidas y $f$ una función medible en $X$ y supongamos que $\forall E \in \mathcal{B}$ tenemos que $\int_E f = 0$ . Entonces quiero demostrar que $f = 0$ en casi todas partes (a.e.).

1. Supongamos que $f \ne 0$ a.e.

2. Entonces $\not\exists E \in \mathcal{B}$ s.t. $\mu(E) = 0$ y $f(x) = 0$ , $\forall x \in X - E$

3. Entonces $\{x : f(x) \ne 0\} = A$ no es de medida cero por lo que o bien $\mu(A) > 0$ o $A \notin \mathcal{B}$ .

4. Ahora bien $\mu(A) > 0$ entonces es fácil ver que $\int_A f \ne 0$ por lo que tenemos una contradicción de nuestra hipótesis original de que $\forall E \in \mathcal{B}, \int_E f = 0$ .

5. Pero si por el contrario $A \notin \mathcal{B}$ Ya no puedo apelar a $\int_A f \ne 0$ desde $\int_A f$ no tiene sentido. Así que tengo problemas con esta parte del argumento.

Answer 1

Argumentar por contradicción definitivamente funciona, esta es la idea.

Sea $\mu(\{ x : f(x) \neq 0 \}) > 0$ .

Entonces tenemos $\{x : f(x) \neq 0\} = \{x : f(x) > 0\} \cup \{x : f(x) < 0\}$ por lo que uno de estos dos conjuntos debe tener medida positiva.

Digamos que es la primera (el argumento para la segunda es análogo).

Entonces $\{x : f(x) > 0\} = \bigcup \{ x : f(x) \geq \frac{1}{n}\} = \bigcup E_n$ así que de nuevo uno de estos debe tener medida positiva.

Así que di $E_k$ tiene medida positiva, entonces $f$ domina $\frac{1}{k}$ en $E_k$ así que $$\int_{E_k} f \geq \int_{E_k} \frac{1}{k} = \mu(E_k)\frac{1}{k} > 0.$$ Así que tenemos una contradicción.

EDIT: además, para comentar tu prueba: como ves aquí no tenemos que ocuparnos de si $A$ es medible, definitivamente lo es. Y también, para el paso $4$ de su prueba $\mu(A) > 0$ no implica que $\int_A f \neq 0$ por ejemplo si $f = 1_{(0,1)} - 1_{(-1,0)}$

Answer 2

El conjunto $\{x:f(x)\neq 0\}$ es lo mismo que $f^{-1}\big((-\infty,0)\big)\cup f^{-1}\big((0,\infty)\big)$ y, por tanto, medibles. Por lo tanto, el problema en 5. nunca se produce.

Y creo que deberías ser más explícito en el paso 4.