He aquí un esbozo de prueba :
Lemma: Para una fibración izquierda $p: A\to B$ el functor que clasifica $B\to \mathcal S$ viene dado por $p_!(*)$ donde $p_! : Fun(A,\mathcal S)\to Fun(B,\mathcal S)$ se deja extensión Kan.
Prueba: Obsérvese que $Fun(A,\mathcal S)$ es equivalente a la subcategoría completa de $Cat_\infty/A$ en fibraciones izquierdas, de forma similar para $B$ y el functor de retroceso $p^*: Cat_\infty/B\to Cat_\infty/A$ se restringe al functor de precomposición sobre categorías de funtores. Pero el adjunto izquierdo a $p^*$ en estas categorías de trozos es postcomposición por $p$ y las subcategorías completas sobre fibraciones izquierdas son estables bajo esta postcomposición porque $p$ es a su vez una fibración izquierda. De ello se deduce que $p_!$ viene dada por la postcomposición a nivel de fibraciones.
Además, la constante $*$ -sobre $A$ clasifica $A\to A$ de modo que la poscomposición por $p$ envía esto a $A\to B$ Así que $p_!(*)$ es la imagen de ese functor.
$D_{f/}$ clasifica el functor sugerido.
Prueba: Aplicar el lema a $p: D_{f/}\to D$ para conseguir que el functor clasificado sea $p_!(*)$ . En los objetos, viene dado por $d\mapsto \mathrm{colim}_{(D_{f/})_{/d}}*$ .
Ahora el $\infty$ -categoría $(D_{f/})_{/d}$ es débilmente equivalente al espacio cartográfico $map(f,\Delta(d))$ en $Fun(C,D)$ , por lo que este colímite viene dado por este espacio cartográfico, que puede ser descrito por su límite.
El caso de las fibraciones derechas es dual.
AÑADIDO después : quizás sería bueno tener un argumento para mi débil afirmación de equivalencia. $\{id_d\}\to D_{/d}$ es cofinal, y $D_{f/}\to D$ es una fibración izquierda, por lo que el pullback a lo largo de ella preserva la cofinalidad (4.4.11. en el libro de Cisinski, aunque él utiliza "final" para lo que yo llamo "cofinal"), en particular la fibra de $D_{f/}\to D$ en $\{id_d\}$ (el espacio cartográfico que he mencionado) es cofinal en el pullback $(D_{f/})_{/d}$ lo que, por supuesto, implica la afirmación sobre la equivalencia débil.
EDIT 2 : Aquí es cómo ver desde el párrafo anterior que esto es en realidad una descripción functorial: $\{id_d\}\to D_{/d}$ es laxa natural en $d$ y, por tanto, también lo es $(D_{f/})_{/d}\times_{D_{/d}} \{id_d\}\to (D_{f/})_{/d}$ .
Ahora bien, la afirmación era que este segundo mapa es cofinal, por lo que, en particular, induce una equivalencia (que, por supuesto, sigue siendo natural en $d$ ) entre las "realizaciones geométricas" (ya no estoy seguro de cuál es el nombre estándar para el adjunto izquierdo $Cat_\infty\to\mathcal S$ ); y en las realizaciones geométricas podemos pasar de "natural laxo" a "natural". Además, casi por definición, el LHS de este mapa es $map(f,\Delta(d))$ como functor de $d$ no sólo puntualmente.
La afirmación final es, por supuesto, que $\mathrm{colim}_A *$ es el tipo homotópico débil de $A$ de nuevo naturalmente en $A$ .
