Desigualdad de Holder para productos infinitos

Question

En el análisis, la desigualdad de Holder dice que si tenemos una secuencia $p_1, p_2, \ldots, p_n$ de números reales en $[1,\infty]$ tal que $\sum_{i=1}^n \frac{1}{p_i} = \frac{1}{r}$ y una secuencia de funciones medibles $f_1, f_2, \ldots, f_n$ , dejando entonces que $f = f_1 f_2 \cdots f_n$ tenemos la desigualdad \begin{equation} \lVert f \rVert_r \leq \lVert f_1 \rVert_{p_1} \lVert f_2 \rVert_{p_2} \cdots \lVert f_n \rVert_{p_n}. \end{equation}

En particular, si $f_i \in L^{p_i}(X,\mu)$ para todos $i$ entonces $f \in L^r(X,\mu)$ .

Estoy buscando una generalización de esta desigualdad a infinitos productos. Es decir, supongamos que tenemos una secuencia infinita $(p_i)_{i \in \mathbb{N}}$ de números reales en $[1,\infty]$ tal que $\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{p_i} = \frac{1}{r}$ y una secuencia infinita de funciones medibles $(f_i)_{i \in \mathbb{N}}$ . Supongamos además que la función $f(x) = \lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n f_i(x)$ existe para casi todos los $x$ . ¿En qué condiciones puedo afirmar que \begin{equation} \lVert f \rVert_r \leq \liminf_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n \lVert f_i \rVert_{p_i} ? \end{equation}

Me parece que este puede se desprende automáticamente de la primera versión del teorema de Holder que he citado anteriormente, pero me resulta un poco incómodo tomar los límites. ¿Hay algo que deba tener en cuenta?

Gracias de antemano.

Answer 1

Sí, es cierto. El resultado (según mi capacidad de búsqueda) apareció por primera vez en El documento de Karakostas de 2008 . Cito el teorema en su totalidad:

Teorema Dejemos que $p_0$ sea un número real positivo y $p_i$ sea una secuencia de números reales positivos extendidos tal que $1 \leq p_i \leq +\infty$ para todos $i = 1,2,3\ldots$ y asumir $$ \frac1{p_0} = \sum_i \frac{1}{p_i}$$ donde $1/+\infty = 0$ por convención. Dejemos que $(X,\mu)$ ser un $\sigma$ -espacio de medida finita, con $\mu(X) < +\infty$ . Supongamos que para cada $i = 1,2,\ldots $ existe una función $f_i \in L^{p_i}(X,\mu)$ . Si el producto infinito $\prod \|f_i\|_{p_i}$ converge a algún número $\in (0,+\infty]$ y si $\prod f_i$ converge a.e. en $X$ a alguna función $f$ entonces $f \in L^{p_0}(X,\mu)$ y $$ \|f\|_{p_0} \leq \prod \| f_i\|_{p_i}$$

Nota: : La demostración pasa por la clásica desigualdad de Hölder, y es muy sencilla en el caso de que $(X,\mu)$ es un espacio de probabilidad ( $\mu(X) = 1$ ). (En un espacio de probabilidad tenemos que $\|f\|_{L^p} \leq \|f\|_{L^q}$ si $q \geq p$ . Este hecho práctico permite "mejorar" las estimaciones de términos finitos y aplicar el lema de Fatou). Utilizando $\sigma$ -finalidad podemos agotar $X$ sean subconjuntos de medida finita, lo que por convergencia monótona nos permite actualizar desde el caso del espacio de probabilidad.