¿Cuándo un conjunto de secciones que es Zariski denso en la fibra genérica también debe ser denso en alguna fibra especial?

Question

Sea $f : X\rightarrow S$ sea un morfismo plano de tipo finito de esquemas con $S$ integral y noetheriana. Sea $\eta\in S$ sea el punto genérico.

Sea $\{\sigma_i\}$ sea una colección de secciones de $f$ (posiblemente infinitas), que son densas Zariski en $X_\eta$ . Me interesan las condiciones adicionales sobre $f,\{\sigma_i\}$ si se cumplen una o las dos propiedades siguientes:

P1: Existe un punto $s\in S - \{\eta\}$ tal que $\{\sigma_i\}$ es denso en la fibra $X_s$ .

P2: Existe un abierto no vacío $U\subset S$ tal que P1 se cumple para cada $s\in U$ .

Es evidente que una condición necesaria es que $S - \{\eta\}$ tiene que ser ``grande'' (por ejemplo, P1 fallará a menudo si $S$ es la especificación de un anillo de valoración discreto). A partir de ahora vamos a suponer $S - \{\eta\}$ es Zariski denso en $S$ .

Mi intuición es que bajo suposiciones adicionales leves debería haber algún tipo de resultado de semicontinuidad para las dimensiones de los cierres de Zariski dentro de las fibras. En particular, el conjunto de $s\in S$ tal que $\{\sigma_i\}$ no es Zariski denso en $X_s$ debe cerrarse en $S$ . Sin embargo, no conozco ningún resultado en este sentido.

He aquí algunas preguntas concretas:

(1) ¿Se cumplen P1, P2 bajo los supuestos anteriores?

(2) ¿Y si además suponemos $f$ tiene fibras geométricamente irreducibles?

(3) ¿Y si $X$ es una algebraica afín semisimple $S$ -¿Esquema de grupo?

Answer 1

Siguiendo con el ejemplo de Yosemite Stan, para cualquier esquema sobre cualquier anillo numérico, incluso si se toman todas las secciones, seguirá sin ser Zariski denso en cualquier fibra especial, porque todas las secciones pasan por los puntos racionales de la fibra especial, que no son densos ya que el campo base es finito. Por supuesto, hay muchos ejemplos de esquemas sobre anillos numéricos con secciones globales densas de Zariski.

Ejemplos similares sirven para $\mathbb A^1$ sobre cualquier curva de dimensión $1$ sobre un campo contable. Hay un número contable de puntos cerrados, ordénelos y elija el $n$ de acuerdo con al menos una de las secciones anteriores. $n-1$ secciones en todas las $n-1$ puntos cerrados. Entonces en el $n$ 'th punto habrá como máximo $n$ secciones distintas, por lo que no serán Zariski densa.

Sobre un campo incontable, la misma construcción demuestra que cualquier conjunto contable de puntos puede ser el conjunto donde las secciones no son densas, por lo que no habrá un conjunto abierto donde las secciones sean densas. Sin embargo, se puede demostrar que hay al menos un punto cerrado donde las secciones son densas.

En primer lugar, se elige un subconjunto contable de las secciones que sea Zariski denso en el punto genérico. Entonces, para cada $d$ por la densidad de Zariski podemos encontrar algún conjunto finito de secciones que no satisfagan ningún grado no trivial $d$ sobre el punto genérico, y luego el conjunto donde esas secciones satisfacen algún grado no trivial $d$ está contenida en un subconjunto cerrado adecuado. En un campo incontable, el complemento de la unión de un número contable de subconjuntos cerrados adecuados será no vacío, y cualquier punto de ese conjunto cerrado no vacío sirve.