Cuantiles superior e inferior

Question

Tengo una pregunta sobre los cuantiles superior e inferior.

En mis notas de clase se definen como:

$Q_p[X] = \inf\{x \mid P(X \leq x) \geq p\}$ es el cuantil p inferior

$Q^p[X] = \inf\{x \mid P(X \leq x) > p\}$ es el cuantil p superior

¿Para qué distribuciones $Q_p[X] = Q^p[X]$ ?

Veo que para distribuciones continuas con fdc estrictamente creciente la igualdad se mantiene. Pero, ¿es cierta para v.r. continuas generales? $X$ ? En caso negativo, ¿existen distribuciones continuas bien conocidas en las que $Q_p[X] \neq Q^p[X]$

Answer 1

A continuación se presenta un estrictamente FCD creciente en el intervalo unitario, definida de la forma obvia:

Tenemos

$$ Q_\frac{1}{2}[X] = \frac{1}{3} \quad\text{and}\quad Q^\frac{1}{2}[X] = \frac{2}{3}. $$

Si este ejemplo de juguete es lo suficientemente "conocido" es, por supuesto, discutible, pero puede surgir fácilmente como la FCD empírica de una muestra de una distribución continua (hipotética).