Una pregunta en la prueba de la oscilación de la función cadlag en [0, 1]

Question

Este es un lema de Billingsley Convergencia de las medidas de probabilidad en la página 122

Dónde $D$ es el conjunto de todas las cadlag fuction sobre $[0,1]$ y $$\omega_x[a,b):=sup_{s,t\in [a,b)}|x(s)-x(t)|$$ Me pregunto por qué "Desde $x(0)=x(0+)$ tenemos $t'>0$ ". Para un $\varepsilon$ puede encontrar tal $t>0$ pero creo que necesita encontrar un $t>0$ traje para cualquier positivo $\varepsilon$ y estoy atascado con él. Cualquier ayuda por favor.

Answer 1

En $x$ es continua por el lado derecho en $0$ para $\varepsilon >0$ puede encontrar $\delta >0$ tal que $\vert x(u)-x(0) \vert < \frac{\varepsilon}{2}$ para $\vert u \vert < \delta$ .

Entonces para $u,v \in [0,\delta)$ $$\vert x(u) -x(v) \vert = \vert x(u)-x(0) +x(0)-x(v) \vert < \vert x(u)-x(0) \vert + \vert x(0)-x(v) \vert <\varepsilon$$

Por lo tanto, puede seleccionar $t^\circ =\delta$ y se descomponen $[0, t^\circ)$ en un único intervalo igual a sí mismo.