Compactibilidad de intersecciones de conjuntos arbitrarios en análisis real

Question

Para $\:$$ n $ $ \en $ $ \mathbf{N} $,$\:$let$ \ E_{n} $ be a closed set. $\:$Let's also let $\:$$ a,b \in\mathbf{R}$ tal que $\ E_{1}\subset\:[\:a, b\:]$

Demuestre que $\:E=\large\bigcap\limits_{n\in\mathbf{N}}$$ E_{n} $ $ \:$ es compacto.

Así que, básicamente, soy un recién llegado al análisis real y no sé cómo tener un gran comienzo mientras salto en esta prueba, por lo que cualquier ayuda sería muy apreciada.

Edición: parece que algunos creen que esta pregunta ya ha sido respondida. Fui a leer esa misma pregunta que puede tener similitudes con esta, pero debo decir que las principales diferencias radican aquí son tales que posiblemente hay una intersección infinita de conjuntos cerrados, mientras que la pregunta antes mencionada trabaja con dos conjuntos.

Gracias.

Answer 1

Utilicemos la definición de compacidad que dice que toda cubierta abierta tiene una subcubierta finita.

Desde $E_{n}$ está cerrado para cada $n$ y las intersecciones contables de conjuntos cerrados son cerradas (¿por qué?), entonces $\cap_{n=1}^{\infty} E_{n}$ está cerrado.

Bien, dejemos que $\cup_{\alpha} U_{\alpha}$ sea una cubierta abierta de $\cap_{n=1}^{\infty} E_{n}$ . Desde $\cap_{n=1}^{\infty} E_{n}$ está cerrado, $\Bbb R - \cap_{n=1}^{\infty} E_{n}$ está abierto.

Entonces $(\cup_{\alpha} U_{\alpha}) \cup (\Bbb R - \cap_{n=1}^{\infty} E_{n})$ es una cubierta abierta para $[a,b]$ (¿por qué?). Encuentre una subcubierta finita de esta nueva cubierta para $[a,b]$ (ya que $[a,b]$ es compacto). Esto nos dará una subcubierta finita para la cubierta original, que cubre $\cap_{n=1}^{\infty} E_{n}$ (¿por qué?).