qué es el pedido total - explicación, por favor

Question

Perdón por la pregunta más tonta, pero quiero entender el orden total de una manera intuitiva, esta es la definición de orden total:

i) Si $a b$ y $b a$ entonces $a = b$ (antisimetría);
ii) Si $a b$ y $b c$ entonces $a c$ (transitividad);
iii) $a b$ o $b a$ (totalidad).

totalidad significa que cualquier par del total ordenado es mutuamente comparable. no entiendo lo que quieren decir bajo comparable puedo comparar también los elementos de orden parcial, ¿dónde está el problema? ¿por qué el orden parcial no es mutuamente comparable?

alguien me puede explicar por favor en palabras simples :(

Answer 1

Dos elementos distintos se llaman "comparables" cuando uno de ellos es mayor que el otro. Esta es la definición de "comparable". Cuando se tiene un parcialmente conjunto ordenado, algunos pares de elementos pueden no ser comparables. es decir, se pueden tener dos elementos $x$ y $y$ tal que $x\leqslant y$ es falso y $y \leqslant x$ también es falso.

Por ejemplo, consideremos el conjunto $\mathbb{R}^2$ y un orden parcial definido así: $$ (x_1,x_2) \leqslant (y_1,y_2) \quad\textrm{iff}\quad x_1\leqslant y_1 \,\textrm{and}\,x_2 \leqslant y_2. $$ Con este orden parcial, los elementos $(0,0)$ y $(1,2)$ de $\mathbb{R^2}$ son comparables, porque $(0,0)\leqslant(1,2)$ . Pero los elementos $(0,1)$ y $(1,0)$ no son comparables, porque ambas afirmaciones " $(0,1)\leqslant(1,0)$ " y " $(1,0)\leqslant(0,1)$ " son falsas.

Answer 2

Si $\le$ es un orden parcial sobre un conjunto $A$ dos elementos $a,b$ de $A$ son comparable si $a\le b$ o $b\le a$ de lo contrario no lo son. Por ejemplo, en el orden parcial $\subseteq$ en $\wp(\Bbb N)$ los conjuntos $\{0,2\}$ y $\{0,1\}$ no son comparables: ninguno es un subconjunto del otro. Por otra parte, los conjuntos $\{0,2\}$ y $\{0,1,2\}$ son comparables: $\{0,2\}\subseteq\{0,1,2\}$ .

Otro nombre para una orden total es orden lineal . Expresa muy bien la idea intuitiva: se puede imaginar un orden lineal $\le$ en un conjunto $A$ como ordenar los elementos de $A$ en una línea. El orden habitual $\le$ en $\Bbb R$ es un orden lineal (o total): si $x,y\in\Bbb R$ son números reales cualesquiera $x\le y$ o $y\le x$ . Dicho de otro modo, si $x$ y $y$ son números reales cualesquiera, al menos una de las afirmaciones $x\le y$ y $x\ge y$ debe ser verdad. A diferencia de los subconjuntos de $\Bbb N$ . Si $A$ y $B$ son subconjuntos de $\Bbb N$ es no el caso de que al menos uno de $A\subseteq B$ y $A\supseteq B$ debe ser cierto: acabamos de ver que $A=\{0,2\}$ y $B=\{0,1\}$ son un contraejemplo. El orden lineal $\le$ alinea los números reales como un único arreglo lineal; el orden parcial $\subseteq$ no se alinea de los subconjuntos de $\Bbb N$ en una disposición lineal.

Answer 3

Supongamos que tenemos un conjunto que es la unión de los miembros de EvilCorp y Skynet. Un orden en este conjunto es " $a\leq b$ si a tiene igual o menor rango que b en su empresa ". Esto satisface i) y ii) pero no iii) - no podemos comparar a y b si son de empresas diferentes. Por lo tanto, no se trata de un orden total, aunque es bastante natural.

Answer 4

Como saben $(D, \leq )$ es un POSET (conjunto parcialmente ordenado) si cumple tres propiedades de,

• * R *eflexividad $a\leq a$
• * A *ntisimetría $a\leq b$ y $b\leq a$ implica $a=b$
• * T *ransitividad $a\leq b$ y $b\leq c$ implica $a\leq c$

Además, si todos los elementos de su conjunto $D$ también son comparables entre sí, por ejemplo $D$ tiene $\{a,b,c,d\}$ y puede comparar $a\leq b$ , $a\leq c$ , $a\leq d$ , $b\leq c$ , $c\leq d$ y así sucesivamente, entonces se puede llamar como un orden total. es decir, cuando se puede tener la relación $\leq$ totalmente en todos los elementos.