La notación con respecto a los diferentes derivados

Question

Actualmente estoy leyendo en derivadas parciales y diferenciales en general. Y hay un par de puntos que parecen unlcear a mí (notación).

1. Por ejemplo, si $f:\mathbb R\to\mathbb R,x\mapsto f(x)$ es una función, entonces es la siguiente notación correcta? $$\frac{d}{dx}f(x)=\frac{df}{dx}(x)=\frac{\partial}{\partial x}f(x)=\frac{\partial f}{\partial x}(x)=f'(x)$$

2. Ahora, en una de mis conferencias que escribió $$g(x):=\frac{\partial \log (f(x))}{\partial x}=\log'f(x)\cdot f'(x)=f'(x)/f(x)$$ La parte acerca de la diferenciación de la función es clara, utilizando la normal de la regla de la cadena $(h\circ f)=(h'\circ f)\cdot f'$. Lo que me confunde un poco es la notación desde $x$ parece tener más de un significado. Sería "más" correcta de escribir $$g(x):=\frac{\partial \log (f(y))}{\partial y}\Bigg|_{y=x}$$ como podemos diferenciar w.r.t. $y$ y, a continuación, conecte $x$$y$? También, en este caso en particular, podríamos reemplazar$\partial$$d$, o podría llevar esto a diferentes implicaciones?

3. Y por último, ¿qué $df$ o $dy$ significa? He leído que el diferencial de $y=f(x)$ se define a ser $dy=f'(x)dx$. Pero, ¿cómo podemos interpretar esta fórmula? Este se convierte en especialmente confuso cuando miro el diferencial de la regla de la cadena $$\frac{dh}{df}=\frac{dh}{dg}\cdot\frac{dg}{df}$$ Lo que me parece extraño es que uno parece ser el uso de $g$ como una función, así como de una variable. Cómo funciona esto exactamente?

Answer 1

Deje $x\in \Bbb R$.

1. Me parece que el rojo de las notaciones a continuación pedagógicamente problemática $$\color{red}{\frac{d}{dx}f(x)}=\frac{df}{dx}(x)=\color{red}{\frac{\partial}{\partial x}f(x)}=\frac{\partial f}{\partial x}(x)=f'(x),$$ but they are OK just as long as you don't look at $\color{red}{f(x)}$ as $f$ evaluated at $x$, but rather look at $\dfrac{d}{dx}f(x)$ and $\dfrac{\partial}{\partial x}f(x)$ as the derivative of $f$ evaluated at $x$.
   It should be mentioned that $d$ is usually used when it is a function of one variable and $\parcial$ cuando se trata de una función de más de una variable.
2. Tienes toda la razón. La notación $\dfrac{\partial \log (\varphi(x))}{\partial x}$, es simplemente incorrecto. Solo mira las anotaciones en el punto 1. No se parece a ninguna de ellas? No. Incluso si se añade la notación $\dfrac{\partial f(x)}{\partial x}$ a la lista (y esto también es una nota que me parezca mal) y lo interpretan como la derivada de la $f$$x$, todavía no concurr con $\dfrac{\partial \log (\varphi(x))}{\partial x}$. ¿Cuál sería su $f$ estar aquí? Si eres consistente, sería $f=\log$, pero, a continuación, $\dfrac{\partial \log (\varphi(x))}{\partial x}$ sería, según nuestra interpretación, la derivada de $\log$ evaluado en $\varphi(x)$, es decir, $\dfrac{1}{\varphi(x)}$. Lo que se pretende es $f=\log \circ \varphi$, pero entonces la notación debe ser $\dfrac{\partial (\log \circ \varphi)(x)}{\partial x}$ que algo completamente diferente. Con la notación $\dfrac{\partial (\log \circ \varphi)(x)}{\partial x}$ usted consigue $\dfrac{\partial (\log \circ \varphi)(x)}{\partial x}=\dfrac{\varphi'(x)}{\varphi(x)}$ como quería.
   De hecho, sería más correcto escribir $\dfrac{\partial \log (f(y))}{\partial y}\Bigg|_{y=x}$, pero no es del todo correcto porque, una vez más, la notación no está en la lista que dio en 1. Después de agregar la notación $\dfrac{\partial f(x)}{\partial x}$ y darle una interpretación adecuada, entonces sí, es correcto.

Answer 2

Primero:

Sí, cuando se trata de lidiar con una función de $f$ de una variable real $x$, la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$ coincide con el total derivado de la $f$ con respecto al $x$. Tener cuidado de que aquellos que generalmente son dos cosas diferentes. Sólo coinciden para las funciones que han puramente explícita de las relaciones de la variable $x$ en cuestión. Es que las otras variables no dependen de $x$.

De forma intuitiva el total derivado de la $f$ mide la $f$ cambios a lo largo de la dirección de la $x$ como todas sus variables varían. La derivada parcial mide la $f$ cambios a lo largo de $x$ cuando el resto de los parámetros no varían. Usted pronto aprenderá acerca de la derivada a lo largo de un campo de vectores o Li derivados. Este es el verdadero agradable, ya que no dependen de la elección de coordenadas $x_1,\dots,x_n$

Segundo:

Después de un breve consejo con Git Gud yo por la presente revisar la segunda sección.

El símbolo $\frac{\partial f(x)}{\partial x}$ no carece de sentido. El siguiente resumen tonterías está bien definido. Considere la posibilidad de $\frac{\partial f(x)}{\partial x}$ a ser el derivado de la $f$ con respecto a una constante $x$ evaluado en constante. Tenga en cuenta que la derivada de cualquier función con respecto a una constante siempre resulta ser la función vacía. En otras palabras, cada valor es el conjunto vacío. Ahora el símbolo $\frac{\partial f(x)}{\partial x}$ representa el conjunto vacío, por lo tanto la fórmula en cuestión está bien formado.

Su lector debe haber tenido algo similar en mente, o la fórmula que él escribió no está bien formado. Incluso dentro de este contexto es falso. Usted tiene el derecho a ser confuso, pero sólo pedirle amablemente al respecto.

Tercero:

Es extraño al principio, pero cuando lo piensas, te das cuenta de la necesidad de sus parámetros dependen, además de algunas otras cantidades. Considere la posibilidad de un cambio de variables. Su nuevo y su antiguo variables están relacionadas entre sí... Ahora si se define la diferencial de $df$ $$df(x_1,x_2,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$$ Entonces esto es lo que el diferencial medio. Este significado se vuelve más sensible al estudio diferencial de las formas de la geometría diferencial. En términos de los laicos, los diferenciales también se llama diferencial de $1$-las formas son sólo el suave covector campos.

EDIT: (en Respuesta a los comentarios)

El símbolo $\frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial x}$ denota el producto de la derivada parcial de $f$ con respecto al $x_1$ con la derivada parcial de $x_1$ con respecto al $x$. Aquí $f$ es una doble función suave de $x$$x_1$. Usted parece estar teniendo problemas para permitir que los argumentos $x$ $x_1$ a depender unos de otros. Esta es una abstracción que tiene que permitir.

Espero que el concepto queda claro a través de ejemplos.

a)la Mayoría de las veces, no hay relaciones entre los argumentos de hecho. A continuación,$\frac{\partial x_i}{\partial x}=0$$\frac{\partial x}{\partial x_i}=0$. A continuación, el total de derivados coincide con la derivada parcial.

b) $\quad x'=\frac{dx}{dx}=\frac{\partial x}{\partial x}=1$. A continuación, $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x}$

c) Imagine $x_1$ como una función de la $x$, por ejemplo,$x_1(x)=x^2$. Ahora defina $f$$f(x,x_1)=x+x_1(x)$. Esta es una función suave de $x$ e de $x_1$. También se $$\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial x}=1+2x$$

d) Usando la notación de considerar las restricciones de $x_1$ e de $f$ a la no-parte negativa de los reales. A continuación, $x=\sqrt x_1$ $$\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial x}=1+\frac{1}{2\sqrt x_1}$$

e) Más en general, consideran una función suave $f(x_1,\dots,x_n)$ y una relación $R(x_1,\dots,x_n)=0$ de manera tal que la función de $R$ es también suave. Ahora usted puede hablar acerca de $\frac{\partial x_i}{\partial x_j}$ para usted siempre podrá resolver la relación de $x_i$ como una función del resto. Esto es tan claro como se puede conseguir.

f) Considerar también la posibilidad de un cambio de variables.

g) Considerar la posibilidad de funciones implícitas.

h) Lugar, yo recomiendo leer acerca de las limitaciones y holonomic sistemas. Esto hace que el concepto más sensible... Wikipedia no puede ser una buena fuente. Recomiendo E. T. Whittakers Analítica, Dinámica y Arnolds métodos Matemáticos de la mecánica clásica