Módulos cíclicos sobre un anillo polinómico

Question

Creo que he demostrado la siguiente proposición. ¿Es correcta y conocida?

Proposición: Sea $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $K$ . Sea $f: V \to V$ a $K$ -mapa lineal. Sea $K[X]$ sea el anillo polinómico. $V$ puede considerarse un $K[X]$ -módulo vía $f$ . Si el polinomio característico de $f$ es el polinomio mínimo, entonces $V$ es un cíclico $K[X]$ -módulo, es decir, generado por un único elemento de $V$ en $K[X]$ .

Answer 1

Esto es consecuencia de la teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal $R$ que dice que cada módulo de este tipo puede escribirse como una suma directa de módulos cíclicos $\bigoplus_{i=1}^lR/(d_i)$ donde los generadores $d_i$ (factores invariantes) se dividen entre sí por orden: $d_1\mid d_2\mid \cdots \mid d_l$ . Tome el módulo $V$ como en la pregunta, entonces el generador final $d_l\in K[X]$ aniquila todos los factores cíclicos, por lo que (suponiendo que la $d_i$ se consideran mónicos) es el polinomio mínimo de $f$ mientras que el polinomio característico es el producto de todos los polinomios $d_i$ . Es evidente que los dos son iguales si y sólo si $l=1$ (los factores invariantes $d_i$ nunca son $1$ ), lo que ocurre si y sólo si $V$ es un módulo cíclico.

Ver también esta respuesta a una pregunta relacionada.