Demostrar o refutar la convergencia de la integral

Question

Existe una integral $$\int_0^{1/2} \frac{cos^3 ( \ln x)}{x\ln x}dx$$

Demostrar o refutar su convergencia/convergencia absoluta.

Inicialmente pensé en la expansión de la serie Taylor en $x \to 0+$ para $\ln x$ pero obtengo valores muy malos para $\cos$ función como $-1, -2, \dotso$ etc.

Answer 1

Como dijo Sean Roberson creo que deberías dejar que $u=\ln(x)$ . Entonces obtendrá $\cos^3(u)/u$ en el integrando. Entonces puedes usar la identidad trigonométrica: $\cos^3(x) =(\cos(3x)+3\cos(x))/4$ . Así que ahora tienes esencialmente un montón de integrales de $\cos(u)/u$ de $-\infty$ a $-\ln(2)$ que son más fáciles de integrar.

Answer 2

pista Con $t=1/x =e^u$ la integral tiene la misma naturaleza que

$$-\int_2^{+\infty}\frac {cos^3 (\ln (t))}{t\ln (t)}dt $$ y $$-\int_{\ln (2)}^{+\infty}\frac {\cos^3 (u)}{u}du.$$

Como ya se ha dicho, linealizar $cos^3$ y utilizar la regla de Abel cerca de $+\infty $ o una integración por partes.