$P$ es un punto en $\triangle ABC$ con $\angle PBC=\angle PCB=24^\circ$ , $\angle ABP=30^\circ$ , $\angle ACP=54^\circ$ . ¿Qué es el $\angle BAP$ ?

Question

Sea $P$ sea un punto dentro de un triángulo $\triangle ABC$ con $\angle PBC=\angle PCB=24^\circ$ , $\angle ABP=30^\circ$ y $\angle ACP=54^\circ$ . ¿Qué es el $\angle BAP$ ?

Puedo calcular $\angle BAP=18^\circ$ asumiendo $BC=1$ y calcular todas las longitudes que intervienen en la imagen mediante la fórmula de los senos y los cosenos.

Pero como la respuesta es un número entero $18^\circ$ Creo que debe haber una forma más elemental (es decir, sin usar senos/cosenos o invloving números irracionales) para obtener las respuestas.

Cualquier sugerencia será bienvenida. Gracias de antemano.

Answer 1

Construir un pentágono regular en $BC$ . Desde $\angle ABC=54^o$ entonces $BA$ biseca $\angle FBC=108^o$ y $BAK$ es la mediatriz de $GH$ . Del mismo modo, puesto que $\triangle BPC$ es isósceles, $GPJ$ , cruzando $BK$ en $L$ , biseca perpendicularmente $BC$ y $FLM$ biseca perpendicularmente $CH$ .

Así, si unimos $PH$ , $AG$ y $AH$ tenemos $\triangle PGH\cong\triangle ABC$ y $\triangle HAG\cong\triangle BPC$ .

Por simetría entonces, $\triangle LAP$ es isósceles. Y como el exterior $\angle KLG=180^o-90^o-54^o=36^o$ entonces $\angle LAP=\angle APL=18^o$ .