Automorphism grupo de los cuaterniones grupo

Question

Deje $Q_8$ ser el grupo de cuaterniones. ¿Cómo podemos determinar el automorphism grupo $Aut(Q_8)$ $Q_8$ algebraicamente? He buscado este problema en internet. He encontrado algunas pruebas geométricas que $Aut(Q_8)$ es isomorfo al grupo de rotación de un cubo, por lo tanto es isomorfo al grupo simétrico $S_4$. Me gustaría saber una prueba algebraica que $Aut(Q_8)$ es isomorfo a $S_4$.

Answer 1

$Q_8$ tiene tres subgrupos cíclicos de orden 4: $\langle i\rangle$, $\langle j\rangle$, $\langle k\rangle$, y $Aut(Q_8)$ actúa sobre estos tres subgrupos; la inducción de un homomorphism $\Phi\colon Aut(Q_8)\rightarrow S_3$. Podemos ver que, el homomorphism es surjective, ya que los dos automorfismos $f\colon i\mapsto j, j\mapsto i$, e $g\colon j\mapsto k, k\mapsto j$ dar dos transposiciones en $S_3$. El núcleo contiene los $\varphi\in Aut(G)$ tal que $\varphi(\langle i\rangle)=\langle i\rangle$ e $\varphi(\langle j\rangle)=\langle j\rangle$ (automáticamente, $\varphi(\langle k\rangle)=\langle k\rangle$).

(1) $\varphi(\langle i\rangle)=\langle i\rangle$$\varphi(i)\in \{i,-i\}$, y del mismo modo, $\varphi(j)\in \{j,-j\}$. Uno puede comprobar que estas cuatro opciones son automorfismos de orden 2 (o 1) (ya que son elementos de conmutación en un par), y por lo tanto el kernel de Klein-grupo de 4 $V_4$.

(2) Ya que, de automorfismos en el núcleo de arreglar todos los subgrupos cíclicos de $Q_8$ (no necesariamente el punto de sabios); considerar la siguiente automorfismos:

$S: i\mapsto j, j\mapsto i$, (por lo tanto,$k\mapsto -k$) y

$T\colon j\mapsto k, k\mapsto j$ (por lo tanto,$i\mapsto -i$);

estos no son parte interior (ya que arreglar un subgrupo), y que generan $S_3$ (son como transposiciones $(1\,2)$$(2\,3)$ ). Por lo tanto, tenemos $\langle S,T \rangle=K\leq Aut(Q_8)$, de tal manera que $K\cong S_3$$\Phi(K)=S_3$. También,

$\ker(\Phi) \cap K=\phi$.

Por lo tanto, $Aut(Q_8)=\ker(\Phi)\rtimes K \cong V_4\rtimes S_3$.

Considerar un elemento de $\ker(\Phi)$:

$f:i\mapsto -i$, $j\mapsto j$,

y dos elementos de la $K\cong Im$:

$g\colon i\mapsto j, j\mapsto i$ (como una transposición), y $h\colon i\mapsto j, j\mapsto k$ (como un 3-ciclo).

Uno puede comprobar que $f$ no conmuta con $g$$h$.

De hecho, esto muestra que ningún elemento de $V_4\setminus\{1\}$ conmuta con cualquier elemento de $K\setminus \{ 1\}$ (por el inter-cambio de roles de $i,j,k$); esto significa, que la acción de $K$ $V_4$ (conjugación) es fiel; y hasta de equivalencia, no es sólo una acción. Por lo tanto, $Aut(Q_8)=V_4\rtimes K\cong S_4$

Answer 2

Sugerencia:

$Inn(Q_8)\cong V$ y es igual a su propio centralizador en $Aut(Q_8)$. Ahora uso $N/C$ Lema en el que $G=Aut(Q_8)$$H=Inn(Q_8)$. Por supuesto, usando el lema que siempre ha $Inn(G)\vartriangleleft Aut(G)$ $G/Z(G)\cong Inn(G)$ que $G$ es de nuestro grupo.

Answer 3

Usted puede encontrar la prueba aquí: automorphism de la generalizada quaternionic grupo

Ver la Proposición 1.1 (pg. 156). Su caso puede ser obtenida tomando $m=2$. Pero que probar para $m\geq 2$.