Demostrar que existe un límite utilizando la definición de convergencia

Question

Una secuencia ( $a_n$ ) converge a un número real $a$ si, para cada número positivo $\epsilon$ existe un $N\in \mathbb{N}$ de forma que siempre que $n \geqslant N$ se deduce que $|a_n-a| < \epsilon$

Utilízalo para demostrar que lim $\frac{6n+\sin(n)}{3n+\cos(n)}=2$

Alguien me puede ayudar con esto porque no entiendo como tratar el coseno y el seno en la función

por lo que tenemos $\frac{6n+\sin(n)}{3n+\cos(n)}-2<\epsilon$

se puede escribir

$|\frac{\sin(n)-2\cos(n)}{3n+\cos(n)}|<\epsilon$

Podría usar la desigualdad del triángulo

pero no se como continuar ni siquiera se si este es un paso correcto.

Answer 1

Utilice el hecho de que $$\bigl\lvert\sin(n)-2\cos(n)\bigr\rvert\leqslant3$$ junto con el hecho de que $$\bigl\lvert3n+\cos(n)\bigr\rvert\geqslant3n-1.$$

Answer 2

$|\frac {\sin n-2\cos n|} {3n+\cos n|} \leq \frac 3 {3n-1} <\epsilon$ si $n >\frac 1 {\epsilon} +\frac 1 3$ . Toma $N=[\frac 1 {\epsilon} +\frac 1 3]+1$