Geometría triangular: $BC^2+AC^2=n\cdot AB^2$ .

Question

Busco información sobre qué triángulos $ABC$ satisfacer $BC^2+AC^2=n\cdot AB^2$ para $n=1,2,3,...$ . Estoy seguro de que ya se ha trabajado en este ámbito, ya que se trata de una pregunta bastante sencilla.

Como ejemplo, acabo de demostrar que $n=2$ es verdadera si y sólo si $\angle LAC =\angle ABM$ o $\angle ANC=\angle ALB$ donde $L,M,N$ son los puntos medios de los lados $BC,CA,AB$ respectivamente. (Esto significa que en cualquier triángulo $ABC$ tenemos $\angle LAC=\angle ABM\iff \angle ANC=\angle ALB$ de David Monk).

¿Qué ocurre para $n=3,4,5,...$ ?

Gracias.

Answer 1

En términos de números, usted quiere $a^2+b^2 = nc^2$ donde $a+b > c, a+c > b, b+c > a$ .

Supongamos que $a \ge b$ .

Si $a = b$ entonces $2a^2 = nc^2$ o $a = c\sqrt{n/2}$ . Desde $c < 2a$ , $a < 2a\sqrt{n/2}$ o $1 < 2n$ o $n > 1/2$ . Así que cualquier número entero positivo servirá. Estos corresponden a triángulos isósceles que se estrechan a medida que $n$ se hace más grande.

Si $a > b$ , una vez que haya $a^2+b^2 = c^2$ , sólo multiplica $a$ y $b$ por $\sqrt{n}$ para obtener $a^2+b^2=nc^2$ .

No sé si esto ayuda o si esto es lo que quieres.