Según tengo entendido, cualquier axiomatización de un campo completo ordenado linealmente, debe ser de segundo orden por naturaleza. ¿Significa eso que el hecho de que todos los campos completos linealmente ordenados sean isomorfos a los reales es un teorema de segundo orden y que, de hecho, es indecidible en el caso de primer orden? Mi intuición me dice que esto es así porque hay infinitas soluciones a la hipótesis del continuo y cada una daría un campo completo linealmente ordenado no isomorfo de primer orden, ¿podría alguien decirme si tal intuición tiene sentido lógico formal, es decir, existen los campos completos linealmente ordenados no isomorfos de primer orden?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Hurkyl
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La afirmación habitual de exhaustividad es intrínsecamente una afirmación de segundo orden: ni siquiera puedes escribirlo en lógica de primer orden . Y resulta que no hay una forma "inteligente" de codificar la completitud en la lógica de primer orden.
Así que, o bien tu pregunta termina ahí, o bien tienes que averiguar qué quieres decir con "campo ordenado linealmente completo de primer orden".
Existe, por cierto, una forma muy agradable de darle sentido: se llama campo cerrado real . Hay mucha literatura al respecto, pero permítame destacar dos hechos que pueden estar relacionados con su línea de pensamiento.
Tenga en cuenta que el lenguaje de anillos ordenados se compone de las constantes $0,1$ las operaciones $+,-,\cdot$ y la relación $\leq$ .
- Todo campo real cerrado es Dedekind completo con respecto a semialgebraico cortes. Es decir, cualquier corte Dedekind que pueda expresarse en el lenguaje de los anillos ordenados es, de hecho, un corte principal. Se pueden hacer afirmaciones similares para otras expresiones de completitud
- Sea $R$ sea un campo real cerrado. Para cada afirmación $P$ que puede expresarse en el lenguaje de los anillos ordenados, resulta que $P$ se cumple en los números reales si y sólo si $P$ mantiene en $R$ .
Existen campos reales cerrados que no son isomorfos a $\mathbb{R}$ . El más sencillo (y pequeño) es el campo de los reales números algebraicos . También existen campos reales cerrados no arquimedianos.
