¡Hola! Después de la lectura atenta de este teorema tengo algunas preguntas:
$1)$ Si $E=\{x\in S: \varphi(x)<\infty\}$ entonces, ¿qué es $E^c$ ? Sé que es el complemento de set $E$ es decir $E^c=\{x\in S: \varphi(x)=\infty\}$ . ¿Estoy en lo cierto?
$2)$ Cómo demostrar rigurosamente que $\mu(E^c)=0$ ? No podría mostrar esto por mí mismo.
$3)$ Tras aplicar el Teorema 1.34 obtenemos $(3)$ con $E$ en lugar de $X$ . Desde $\mu(E^c)=0$ obtenemos $(3)$ con $S$ en lugar de $X$ . Pero $\int \limits_{X}fd\mu$ no tiene sentido ya que $f$ sólo se define en $S$ y no tenemos información sobre $f$ en $X-S$ .
Cualquier comentario \answer sería de agradecer.
EDITAR: Supongamos que $\mu(E^c)>0$ y que $\alpha=\int\limits_{S}\varphi d\mu<\infty$ . Sea $s$ sea la función simple $0\leqslant s \leqslant \varphi$ tomando valor $\frac{\alpha+1}{\mu(E^c)}$ . Entonces, por definición de $\int\limits_{S}\varphi d\mu$ tenemos las siguientes desigualdades: $$\alpha=\int\limits_{S}\varphi d\mu\geqslant \int\limits_{E^c}\varphi d\mu \geqslant \int\limits_{E^c}s d\mu=\dfrac{\alpha+1}{\mu(E^c)}\cdot \mu(E^c)=\alpha+1$$ pero es una contradicción ya que $\alpha \geqslant 0$ .
