Utilizar vectores para demostrar $\cos(\beta - \alpha) = \cos \alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Question

Si dos vectores $a$ y $b$ hacer ángulo $\alpha$ y $\beta$ con el $x$ -eje, demuestre, usando vectores, que: $$\cos(\beta - \alpha) = \cos \alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$$

Intenté tomar componentes de cada vector a lo largo del plano, pero eso no me llevó a ninguna parte. Intenté tomar la componente del vector $b$ a lo largo del vector $a$ pero también me quedé atascado allí. ¿Alguien puede indicarme la dirección correcta?

Answer 1

Sea $u = \langle\cos \alpha,\sin \alpha\rangle$ y $v = \langle\cos \beta,\sin \beta\rangle$ .

Entonces, $\cos \theta = \dfrac{u \cdot v}{\|u\|\|v\|}$ donde $\theta$ es el ángulo entre los dos vectores $u$ y $v$ .

Ahora, conecte $u$ , $v$ y $\theta$ en términos de $\alpha$ y $\beta$ y mira lo que obtienes.