¿Existe una solución débil en $W^{1,2}_0(\Omega)$ a la siguiente ecuación: $-\Delta u+bu=f$ ?

Question

Sea $\Omega$ sea un subconjunto abierto suave y acotado en $\mathbb{R^3}$ , $f$ y $b$ estar en $L^2(\Omega)$ tal que $b$ es no negativo en $\Omega$ . ¿Existe una solución débil en $W^{1,2}_0(\Omega)$ a la siguiente ecuación: $-\Delta u+bu=f$ ?

Ayúdame con algunas pistas para empezar. Además, dime algún libro de texto sobre PDEs que contiene muchos problemas como este problema.

Muchas gracias.

Answer 1

Pista: es la forma bilineal $$ a(u,v)=\int_\Omega(\nabla u\cdot\nabla v+b\,u\,v),\quad u,v\in W_0^{1,1}(\Omega), $$ ¿coercitivo?

Hay excelentes libros de L.C. Evans y H. Brèzis .