Número de subgrupos normales

Question

Sea $G$ sea el producto directo de $k$ copias de grupos simples isomorfos no abelianos. ¿Cómo puedo demostrar que $G$ tiene $2^k$ ¿subgrupos normales? Lo que sé hasta ahora: Sea $G$ sea el producto directo de dos subgrupos a saber $A$ y $B$ entonces cualquier subgrupo normal de $G$ será el producto directo de la interacción con $A$ y $B$ respectivamente. Intento utilizar el lema de Goursat. No sé si el enunciado de esta pregunta es correcto o no.

Answer 1

Pista: Que $N\triangleleft \prod_{i=1}^n G$ y que $\pi_n$ sea la proyección sobre $n$ ª componente.

Demostrar que $\pi_j(N)\triangleleft G$ por lo que debe ser o trivial o todo el asunto. Reducir al caso en que todas las proyecciones son suryectivas. Consideremos ahora $N\cap G_i$ (identificación $G_i$ con el subgrupo del producto con componentes triviales en todas las demás coordenadas). Esto también es normal en $G_i$ por lo tanto, o es trivial o lo es todo.

Demuestra que debe ser todo.