Problema de desigualdad del teorema del valor medio.

Question

Así que estoy teniendo problemas para tratar de resolver este problema:

Sea $a$ y $b$ sean dos números reales tales que $a \geqslant b \geqslant 1$ . U $$\ln\left(\frac{a}{b}\right)\leqslant a-b$$

Sinceramente, no sé ni cómo empezar, así que me preguntaba si alguien podría echarme una mano. Muchas gracias.

Answer 1

Si $a=b$ hemos terminado. De lo contrario, por el MVT, hay alguna $c\in(b,a)$ tal que $$ \frac{\log(a)-\log(b)}{a-b}=\frac{1}{c}\leq 1 $$ donde la última desigualdad se debe a que $c\geq b\geq 1$ .

Answer 2

Toma $f(x)=\ln x$ y aplicar el Teorema del Valor Medio a $f(x)$ en el inerval $[b,a]$ . Luego está $c\in(b,a)$ tal que $f(a)-f(b)=f'(c)(a-b)$ . Pero.., $f'(c)=\frac{1}{c}$ y $1\le b< c< a$ Así que $\frac{1}{c}<1$ . Resumiendo, $$\ln(a/b)=\ln a-\ln b=\frac{1}{c}(a-b)< a-b.$$ Estos argumentos funcionan si $a<b$ . Por lo demás, $\ln a-\ln b=0=a-b$ y tienes igualdad.

Answer 3

$I:= \displaystyle{\int_{b}^{a}} \dfrac{1}{x}dx= \log a- \log b$ ;

MVT de integración:

$I= \dfrac{1}{r} \displaystyle{\int_{b}^{a}} 1 dx =(1/r)(a-b)$ donde $r \in [b,a]$ .

Por último

$\log a -\log b=(1/r)(a-b) \le a-b$ ya que $r\ge1$ .