Intercambiar límite con mínimo/supremo

Question

Seguro que tengo un malentendido de notación. De todos modos, supongamos $(f_n)$ es una secuencia de funciones continuas de un espacio métrico $X$ a $\mathbb{R}$ . Por lo tanto, si $(f_n)$ converge uniformemente a una función $f$ entonces

$$\lim_{n \to \infty} \inf_{x \in X} f_n(x) = \inf_{x \in X} \lim_{n \to \infty} f_n(x)$$

y

$$\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in X} f_n(x) = \sup_{x \in X} \lim_{n \to \infty} f_n(x).$$

¿Puede alguien explicarme por qué? De nuevo, esto podría ser muy simple...

Answer 1

Creo que hablar de $\sup$ y $\inf$ necesitas algún tipo de orden en $Y$ ? De todos modos, voy a tomar $Y = \mathbb{R}$ en lo que sigue.

Tenemos $f$ es el límite uniforme del $f_i$ y la demanda es $$\lim_i \sup_{x \in X} f_i(x) = \sup_{x \in X} f(x)$$ Trato el caso $\sup_{x \in X} f(x) = M < \infty$ para $M = \infty$ puede alterar mínimamente el mismo argumento. Lemme saber si quieres detalles.

En primer lugar, ¿por qué $\lim_i \sup_{x \in X} f_i(x)$ ¿existen? Pues bien, demostremos que esta sucesión es Cauchy. Fijemos $\epsilon > 0$ para $i$ suficientemente grande tenemos todos los $f_i$ uniformemente dentro de $\epsilon$ de $f$ . Para $j, j' > i$ tomar una secuencia $x_n$ tal que $f_j(x_n)$ converge a $\sup_{x} f_j(x)$ tenemos $$\sup_x f_{j'}(x) \geqslant \limsup_n f_{j'}(x_n) \geqslant \lim f_j(x_n) - \epsilon = \sup_x f_j(x) - \epsilon$$ por simetría tenemos el resultado.

Ahora a los negocios, queremos mostrar $$\lim_j \sup_x f_j(x) = M$$

Veamos $\geqslant$ para cualquier $\epsilon > 0$ podemos encontrar $x$ tal que $f(x)$ está dentro de $\epsilon$ de $M$ , y para lo suficientemente grande $n$ tenemos $f_n(x)$ está dentro de $\epsilon$ de $f(x)$ . En particular $\sup_{x' \in X} f_i(x ') \geqslant f_i(x) \geqslant M - 2\epsilon$

Así obtenemos $$\lim_i \sup_{x \in X} f_i(x) \geqslant M$$

Ahora veamos $\leqslant$ basta con demostrar $\leqslant M + \epsilon$ para cualquier $\epsilon > 0$ . De hecho, para $i >> 0$ tenemos $f_i(x)$ está uniformemente dentro de $f(x)$ . Para $i$ tome una secuencia $x_n$ tal que $\lim_n f_i(x_n) = \sup_x f_i(x)$ . Tenemos $$\lim_n f_i(x_n) \leqslant \limsup_n f(x_n) + \epsilon \leqslant M + \epsilon$$ como desee.