Estamos estudiando la aplicación de los instrumentos derivados en matemáticas ahora.
Esto se refiere a una pregunta que surgió en mi cabeza mientras que la solución de un problema particular. El problema era:
Una función de $f(x)$ es continua y dos veces diferenciable. El segmento de la línea de unirse a $\big(a, f(a)\big)$ $\big(b, f(b)\big)$ corta a la gráfica en $\big(c,f(c)\big)$, probar que existe un $t\epsilon(a,b)$ tal que $f''(t) = 0$.
Ahora esta parte es bastante fácil.
Existe un punto en el intervalo de $(a,c)$ de manera tal que la pendiente de la tangente en el punto será igual a la pendiente de la línea de segmento de $AB$. Del mismo modo, otro de los puntos con la misma condición que existirá en el intervalo de $(c,b)$.
Sabemos que la concavidad de una gráfica de los cambios entre las dos extremas (por una continua y diferenciable de la curva), y por lo tanto existe un punto de inflexión $\big(t, f(t)\big)$ alrededor de la cual la segunda derivada $\frac{d^2y}{dx^2}$ $\big(= f''(x)\big) $ cambia de signo y por lo tanto el valor de $f''(t)$$0$.
Ahora mi comienza la confusión. Un estudiante planteó una duda, diciendo que, aunque no TIENE que ser un punto de $t$ tal que $f''(t) = 0$ es posible que no hay ningún punto de inflexión. Él dijo que esto puede suceder cuando hay una 'm'en forma de gráfico:
Para mi sorpresa, mi profesor aceptó el argumento!
Sentí que no podía ser cierto, ya que hay existente entre los puntos a y C y entre C y B, donde la concavidad ESTÁ cambiando!
La porción de la gráfica sólo acerca de C es cóncava hacia arriba, mientras que las otras partes de la gráfica son cóncavas hacia abajo.
Cuando me lo señaló el profesor, él no estuvo de acuerdo, diciendo que si la gráfica se estrecha a un punto en C, entonces no habrá ninguna parte hacia arriba.
Tengo un problema con esto.
Si el gráfico se estrecha a un punto, entonces eso significa que $f(x)$ NO ser diferenciable en C!
Y si no, siempre habrá alguna parte - no importa cuán pequeña sea, que se enfrenta al alza.
Cuando me plantearon objeciones de nuevo, me dijeron que para observar la gráfica de $f(x) = \sin^2(x)$ - que - en puntos de $\pi, 2\pi, 3\pi$, etc($±n\pi$). toca el eje x, pero todavía no tiene un punto de inflexión. Si aún tenía una duda, se me fue a reunirse con él después de clase (algo que no sucede desde que salió antes de nuestra última conferencia fue de más).
Así que he comprobado la $f(x) = \sin^2(x)$ gráfico también. He comprobado que la derivada segunda - que es $2\cos(2x)$. El gráfico de esta, es una onda, que se cruza con el $x$ eje $\frac{n\pi}{4}$, como se muestra aquí. Este gráfico indica que el $f(x) = \sin^2(x)$ no tiene puntos de inflexión sobre el que el signo de $f''(x)$ (y por lo tanto la concavidad de la gráfica).
Yo no voy a cumplir con este profesor para la otra semana, y necesito esta aclarado. ¿Alguien puede confirmar si estoy en lo correcto o mi profesor es?
