Estructuras de espín en variedades sasakianas y la analogía de Kähler

Question

A menudo se dice que una múltiple sasakiana es la Análogo dimensional impar de una variedad de Kähler.

Ahora para un $2n$ -de Kähler sabemos por Atiyah que es spin exactamente si el haz de líneas $\Omega^{(0,n)}$ admite una raíz cuadrada ${\cal S}$ y una elección de estructura de espín es equivalente a una elección de estructura holomórfica ${\cal S}$ . En este caso, el haz de espinores asociado es el producto tensorial de ${\cal S}$ con el complejo antiholomorfo. Además, el operador de Dirac asociado es el producto tensorial de $\overline{\partial} + \overline{\partial}^*$ con el $\overline{\partial}$ -correspondiente a la elección de la estructura holomórfica.

Entonces, ¿presenta la analogía anterior alguna versión sasakiana de este diccionario de geometría de espín a geometría compleja?

Answer 1

Toda variedad sasakiana $M$ (de dimensión $2k+1$ ) tiene una canónica $\mathrm{Spin}^c$ estructura, porque el cono $\overline{M}$ en $M$ es Kähler y por tanto tiene una canónica $\mathrm{Spin}^c$ que restringe a $\mathrm{Spin}^c$ estructura en $M$ .

Si $M$ es Einstein, entonces el cono $\overline{M}$ es plano de Ricci y eso a su vez implica que el haz auxiliar $\Lambda^{k+1, 0} \overline{M}$ de la canónica $\mathrm{Spin}^c$ estructura en el cono $\overline{M}$ es plana. Ahora $\mathrm{Spin}^c$ en variedades simplemente conectadas con haz auxiliar trivial se identifica canónicamente con una estructura de espín.

Para más información Moroianu, Andrei : Espinores paralelos y matadores en $Spin^c$ colectores , Comm. Math. Phys. 187 (1997), nº 2, 417-427