He empezado a estudiar las coordenadas baricéntricas y tengo algunas preguntas.
En los estados de mi libro, palabra por palabra :
Considere $\triangle{ABC}$ y un punto $P\in\mathcal{P}$ . Para cualquier punto $M\in\mathcal{P}$ hay 3 números reales determinados unívocamente $x,~y,~z$ tal que $x+y+z=1$ y
$$\vec{PM}=x\vec{PA}+y\vec{PB}+z\vec{PC}.$$
$x,~y,~z$ se llaman coordenadas baricéntricas de punto $M$ en relación con $\triangle{ABC}$ .
Intenté demostrarlo en el plano complejo:
Consideremos un plano cartesiano con centro en $P$ y $A(a),~B(b),~C(c)$ . Entonces el problema se convierte en:
Prueba $\forall~M(s)\in\mathcal{P}~\exists$ únicamente $x,~y,~z\in\mathbb{R}$ , $x+y+z=1$ tal que $s=xa+yb+zc$ .
Escriba a $a,~b,~c,~s$ en forma cartesiana:
$a=x_1+y_1i,~b=x_2+y_2i,~c=x_3+y_3i,~s=x_s+y_si$
Entonces $x_s+y_si=(xx_1+yx_2+zx_3)+(xy_1+yy_2+zy_3)i\Rightarrow$
$ \begin{cases} xx_1+yx_2+zx_3=x_s&(1) \\ xy_1+yy_2+zy_3=y_s&(2) \end{cases} $
También $x+y+z=1~~~(3)$
Formando un sistema de ecuaciones con $(1),~(2),~(3)$ Llegué a la conclusión de que:
$x=\frac{(y_2-y_3)(x_s-x_3)+(x_3-x_2)(y_s-y_3)}{(y_2-y_3)(x_1-x_3)+(x_3-x_2)(y_1-y_3)}$
Que es exactamente la fórmula que aparece en Wikipedia.
$y$ y $z$ será similar.
Mi hipótesis: las coordenadas baricéntricas son las mismas $\forall P\in\mathcal{P}$ y constante $A,~B,~C,~M\in\mathcal{P}$ .
Mi prueba: Sea $P'\in\mathcal{P}$ y $P'=P-\Delta,~\Delta\in\mathbb{C^*}$ .
Considerando un plano cartesiano con centro en $P'$ todas las coordenadas sufren una transformación simple, es decir, se desplazan en $\Delta$ :
$x_s'=x_s+\Delta_x,~y_s'=y_s+\Delta_y$
$x_k'=x_k+\Delta_x,~y_k'=y_k+\Delta_y,~k\in\{1,2,3\}$
Encontrar $x',~y',~z'$ utilizando esta sustitución $\Delta_x$ y $\Delta_y$ simplificar y
$x=x',~y=y',~z=z'$
Por tanto, para cualquier punto $P$ ¿las coordenadas baricéntricas se conservarán?
Si quiero demostrar, por ejemplo, que las coordenadas baricéntricas del circuncentro $O$ de $\triangle{ABC}$ son
$(x,y,z)=(\frac{sin2A}{sin2A+sin2B+sin2C},\frac{sin2B}{sin2A+sin2B+sin2C},\frac{sin2C}{sin2A+sin2B+sin2C})$
entonces puedo considerar un plano cartesiano con centro en O y elegir $P=O$ ? Porque, si la lógica anterior es cierta, si las coordenadas baricéntricas son las de $P=O$ deben serlo para cualquier $P$ . Así que tendría que demostrar
$$\frac{1}{sin2A+sin2B+sin2C}(sin2A\cdot\vec{OA}+sin2B\cdot\vec{OB}+sin2C\cdot\vec{OC})=\vec{0}$$
y puesto que $\frac{1}{sin2A+sin2B+sin2C}\ne0$
$$sin2A\cdot\vec{OA}+sin2B\cdot\vec{OB}+sin2C\cdot\vec{OC}=\vec{0}$$
Es decir, como una ecuación compleja,
$$a\cdot sin2A+b\cdot sin2B+c\cdot sin2C=0$$
para $|a|=|b|=|c|=R$ .
¿Sería una prueba correcta?
EDIT: Cómo he intentado continuar la prueba:
Primer intento
$a=R\cdot e^{i\alpha},~b=R\cdot e^{i\beta},~c=R\cdot e^{i\gamma}$
Dividir por R
$(cos\alpha\cdot sin2A + cos\beta\cdot sin2B + cos\gamma\cdot sin2C)+(sin\alpha\cdot sin2A + sin\beta\cdot sin2B + sin\gamma\cdot sin2C)i=0$
Hay que demostrar que tanto la parte real como la imaginaria de LHS son $0$ pero no tengo ni idea de cómo hacerlo. La única ventaja de esto sería trabajar sólo en ángulos, pero no sé cómo continuar.
Segundo intento
Dividir por 2
$a\cdot sinA\cdot cosA+b\cdot sinB\cdot cosB+c\cdot sinC\cdot cosC=0$
Utilizar la ley de los senos y el teorema de Al Kashi :
$sinA=\frac{BC}{2R},~sinB=\frac{AC}{2R},~sinC=\frac{AB}{2R}$
$cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC},~cosB=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2AB\cdot BC},~cosC=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2AC\cdot BC}$
Sustituir y multiplicar por $4R$ y amplificar cada fracción por $BC,~AC,~AB$ respectivamente y multiplicar por el denominador común, $2AB\cdot BC\cdot AC$ .
$a\cdot BC^2(AB^2+AC^2-BC^2)+b\cdot AC^2(AB^2+BC^2-AC^2) + c\cdot AB^2(AC^2+BC^2-AB^2)=0.$
El siguiente paso sería utilizar $AB^2=|a-b|^2=(a-b)(\overline{a-b})=(2R^2-a\overline{b}-b\overline{a})$ y lo mismo para los demás pero esto requiere demasiado cálculo y podría llevarme hasta 1 hora hacerlo y además no equivocarme. ¿Existe algún software que pueda manejar este tipo de expresiones y calcular la forma expandida estándar? Lo intenté con WolframAlpha pero "límite de caracteres excedido" lo cual es un poco decepcionante ya que dicen que hasta 1200 caracteres cuando lo buscas en Google (tuve que escribir la función Conjugate[] muchas veces).
