Derivado a 4, cuando $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

Question

Derivado a 4, cuando $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

Elijo utilizar la fórmula $\displaystyle f'(x)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Que después de trabajar un poco descubrí que era

$\frac{3-\sqrt{2x+1}}{3\sqrt{2x+1}(x-4)}$

Que es básicamente volver a donde empecé. ¿Hay alguna manera de obtener el $x-4$ del denominador?

Answer 1

Pista: Prueba a multiplicar por el conjugado: $$ \frac{3 + \sqrt{2x+1}}{3 + \sqrt{2x+1}} $$ Entonces el numerador se convierte en: $$ (3)^2 - (\sqrt{2x + 1})^2 = 9 - (2x + 1) = -2x + 8 = -2(x - 4) $$ para que pueda cancelar el $(x - 4)$ plazo.

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A petición de los comentarios, aquí está todo el trabajo: \begin{align*} \left. \frac{d}{dx}\right|_{x=4} \frac{1}{\sqrt{2x+1}} &= \lim_{x\to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{2x+1}} - \frac{1}{\sqrt{2(4)+1}}}{x - 4} \\ &= \lim_{x\to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{2x+1}} - \frac{1}{3}}{x - 4} \\ &= \lim_{x\to 4} \frac{3-\sqrt{2x+1}}{3\sqrt{2x+1}(x-4)} \\ &= \lim_{x\to 4} \frac{-2(x - 4)}{3\sqrt{2x+1}(x-4)(3 + \sqrt{2x+1})} &\text{using my hint}\\ &= \lim_{x\to 4} \frac{-2}{3\sqrt{2x+1}(3 + \sqrt{2x+1})} \\ &= \frac{-2}{3\sqrt{2(4)+1}(3 + \sqrt{2(4)+1})} \\ &= \frac{-1}{27} \end{align*}

Answer 2

$\displaystyle f'(x)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

$\displaystyle=\frac{\dfrac1{\sqrt{2x+1}}-\dfrac1{\sqrt{2a+1}}}{x-a}$

$\displaystyle=\frac{\sqrt{2a+1}-\sqrt{2x+1}}{(x-a)\sqrt{2x+1}\sqrt{2a+1}}$

$\displaystyle=\frac{(2a+1)-(2x+1)}{(\sqrt{2a+1}+\sqrt{2x+1})(x-a)\sqrt{2x+1}\sqrt{2a+1}}$

Ahora anula $x-a$ como $x\to a,x\ne a\iff x-a\ne0$

A continuación, establezca $x=a$ y finalmente $a=4$