Los irreductibles son primos en un UFD

Question

Cualquier elemento irreducible de un anillo factorial $D$ i $D$ .

Prueba. Sea $p$ sea un elemento irreducible arbitrario de $ D$ . Así $ p$ no es una unidad. Si $ ab \in (p)\smallsetminus\{0\}$ entonces $ ab = cp$ con $ c \in D$ . Escribimos $ a,\,b,\,c$ a $$\displaystyle a \;=\; p_1\cdots p_l, \quad b \;=\; q_1\cdots q_m, \quad c \;=\; r_1\cdots r_n.$$ H estar vacío, es decir, puede ser una unidad. Tenemos $$\displaystyle p_1\cdots p_l\,q_1\cdots q_m \;=\; r_1\cdots r_n\,p\tag{1}$$

Debido a la unicidad de la factorización en primos, cada factor $ r_k$ es socio de algunas de las $l+m$ i lado izquierdo de $(1)$ . En consecuencia, $p$ h la página $ p_i$ o $ q_j$ 's. Significa que $ a \in (p)$ o $ b \in (p)$ . Así, $ (p)$ es un ideal primo de $ D$ , un elemento primo.

Puede que sea demasiado simple, pero ¿por qué $ a \in (p)$ en lugar de $p_1 \in (p)$ ? ¿Es porque $p$ tiene que ser asociado de uno de los $ p_i$ o $ q_j$ 's? Digamos que $p_2$ es un asociado de $p$ . Así que.., $p_2=pw$ , $w\in R$ . Desde $a=p_1p_2\cdots p_l$ entonces $a=p_1pwp_3\cdots p_l$ y $a=p(p_1p_3\cdots p_lw)$ , $p_1p_3\cdots p_lw \in R$ así que $a$ es divisible por $p$ de ahí $a\in (p)$ ?

Answer 1

Es trivial demostrar que los primos son irreducibles. Entonces, supongamos que $a$ es un irreducible en un UFD (Unique Factorization Domain) $R$ y que $a \mid bc$ en $R$ . Debemos demostrar que $a \mid b$ o $a \mid c$ . Desde $a\mid bc$ existe un elemento $d$ en $R$ tal que $bc=ad$ . Ahora sustituye $b,c$ y $d$ por sus factorizaciones como producto de irreducibles y utilizar la unicidad.

Answer 2

La demostración dada anteriormente es probablemente la estándar para mostrar que un dominio factorial es un Dominio AP . Pero hay otra prueba utilizando la siguiente aplicación: para un irreducible $p\in D$ definamos $e_p\colon D\setminus \{0\}\rightarrow \Bbb{N}$ dada por $a\mapsto e_p(a)=\#$ de veces que $p$ o sus asociados aparecen en la factorización irreducible de $a$ .

Observamos que $D$ es factorial la aplicación dada arriba está bien definida. Además, si $a\in D^{\times}$ entonces $e_p(a)=0$ para cada irreducible $p$ y si $a\in D\setminus{D^{\times}_0}$ entonces $e_p(a)=0$ si $p\not\mid a$ . Equivalentemente, $e_p(a)>0$ si $p\mid a$ .

Tenemos lo siguiente:

Lema: Sea $D$ sea un dominio factorial y $a,b\in D\setminus \{0\}$ . Entonces $$e_p(ab)=e_p(a)+e_p(b)$$ para cada irreducible $p\in D$ .

Prueba: En $D$ es factorial, podemos escribir $a=p^{e_p(a)}\ldots $ y $b=p^{e_p(b)}\ldots $ entonces $$ab=(p^{e_p(a)}\ldots)(p^{e_p(b)}\ldots)=p^{e_p(a)+e_p(b)}\ldots $$ Por lo tanto, $e_p(ab)=e_p(a)+e_p(b)$ .

Ahora vamos a demostrar que si $D$ es factorial, entonces $D$ es un dominio AP. Sea $p$ sea un elemento irreducible en $D$ y que $a,b\in D$ tal que $p\mid ab$ . Si $ab=0$ entonces $a=0$ o $b=0$ por lo que en este caso claramente $p\mid a$ o $p\mid b$ . Si $ab\neq 0$ ya que $p\mid ab$ tenemos $e_p(ab)>0$ así que por el lema anterior encontramos $$e_p(ab)=e_p(a)+e_p(b)>0.$$ Por lo tanto deducimos que necesariamente $e_p(a)>0$ o $e_p(b)>0$ es decir, $p\mid a$ o $p\mid b$ . Por lo tanto, $p$ es primo.

Como observación, este tipo de ideas aplicadas a $\Bbb{Z}$ en las primeras páginas del libro " Introducción clásica a la teoría moderna de números "por K. Ireland y M. Rosen.