¿Cómo demuestro que una función uniformemente continua preserva las sucesiones de Cauchy?

Question

Sea $f$ sea una función uniformemente continua sobre A de $\Bbb{R}$ . ¿Cómo puedo demostrar que si $a_n$ es Cauchy, entonces $f(a_n)$ es Cauchy.

Esto es en lo que he trabajado, pero no tiene mucho sentido ya que siento que no he utilizado realmente la condición dada de que $f$ es uniformemente continua.

Sea $\epsilon>0$ , $f$ es uniformemente continua, por lo que existe $\delta>0$ st $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ para $|x-y|<\delta$ .

Desde $a_n$ es Cauchy, existe $N>0$ tal que $|a_n-a_m|<\delta$ para $m,n>N$

Por lo tanto $|f(a_n)-f(a_m)|<\epsilon$ para $m,n>N$ . Así que $f(a_n)$ es Cauchy

Answer 1

Tu prueba tiene buena pinta. Utilizas la continuidad uniforme para afirmar que para cada $n,m>N$ , $\vert f(a_n)-f(a_m)\vert<\epsilon$ . Si sólo tuvieras continuidad, $\delta$ dependería de $x$ y por lo tanto no se puede afirmar que $\vert a_n-a_m\vert<\delta\Longrightarrow\vert f(a_n)-f(a_m)\vert<\epsilon$ para todos $n,m>N$ .

Comentario adicional

Si $A$ se supone cerrada, entonces no es necesaria la continuidad uniforme (sólo la continuidad "puntual"). Esto es así porque si $A$ está cerrado, $(a_n)$ se garantiza que converge a algún $a\in A$ . Entonces, $f$ será continua en $a$ y la prueba puede modificarse en consecuencia sin utilizar la continuidad uniforme.