Variables aleatorias estadísticamente independientes

Question

Problema:

Para las variables aleatorias estadísticamente independientes $X$ y $Y$ con $f_X(x)=1$ , $1\leq x\leq 2$ y $f_Y(y)=e^{-(y-1)}$ , $ 1\leq y< \infty$ determine $f_Z(z)$ donde $Z=X+Y$ .

No he podido encontrar un punto de partida para esta pregunta. Intenté producir $f_X(x)$ con $f_Y(y)$ pero no apareció nada. ¿Podría indicarme por dónde empezar?

Answer 1

Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias independientes y continuas con funciones de densidad $f_X$ y $f_Y$ la función de densidad de una variable aleatoria $X+Y$ viene dado por $$ f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\mathrm dx=\int_{-\infty}^\infty f_X(z-y)f_Y(y)\mathrm dy. $$ La función $f_{X+Y}$ se denomina convolución de $f_X$ y $f_Y$ .

Consideremos la primera integral. $f_X(x)\ne0$ si $1\le x\le2$ y $f_Y(z−x)\ne0$ si $z−x\ge1$ . Por lo tanto, $f_X(x)f_Y(z−x)\ne0$ si $1\le x\le\min\{z−1,2\}$ y tenemos que calcular la integral $$ \int_1^{\min\{z−1,2\}}f_X(x)f_Y(z−x)\mathrm dx $$ para obtener $f_{X+Y}(z)$ para $z\ge2$ . Utilizando Calculadora integral para hallar la antiderivada, obtenemos $$ \int_1^{\min\{z−1,2\}}f_X(x)f_Y(z−x)\mathrm dx=e^{\min\{z-1,2\}-z+1}-e^{2-z} $$ para $z\ge2$ . Por lo tanto, $$ f_{X+Y}(z)= \begin{cases} 1-e^{2-z},&\text{if } 2\le z<3;\\ e^{3-z}-e^{2-z},&\text{if } z\ge3. \end{cases} $$