definición de número sinuoso, tienen dudas en la definición.

Question

¿podría alguien decirme por qué en la definición de número índice o número de arrollamiento de una curva $\gamma(t)$ alrededor de algún punto $a$ tomamos esta integral : $$\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{z-a} $$ por qué no $$\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{z^2+2z+1+e^z-a} $$ ?

Answer 1

Es un hecho no trivial de la topología que dada cualquier curva $\gamma:[0, 1]\rightarrow\mathbb{C}\setminus\{a\}$ podemos encontrar una expresión de coordenadas polares continuas sobre $a$ tal que $$\gamma(t) = a + r(t)\cdot e^{i\theta(t)}$$ donde $\theta$ y $r$ son continuas (si la curva es diferenciable, también lo son $r$ y $\theta$ ). Además $\theta$ y $r$ se definen unívocamente hasta múltiplos de $2\pi$ que es una libertad en la elección del ángulo inicial. La principal consecuencia de lo anterior es que la definición natural del número de enrollamiento debe ser $$\mathrm{Wnd}(a,\ \gamma) = \frac{\theta(1) - \theta(0)}{2\pi}$$ es decir, el cambio angular continuo total de la curva dividido por $2\pi$ . No debería ser difícil convencerse de que esto es siempre un número entero para curvas cerradas y representa el número de veces que $\gamma$ "vientos" sobre $a$ . Queda relacionar esta definición intuitiva con nuestra definición integral y el componente clave es el logaritmo $$\log(z) = \ln|z| + i\theta(z)$$ donde la componente imaginaria del logaritmo es esencialmente una función de seguimiento angular, siempre que podamos hacerla variar de forma continua. (El logaritmo es intrínsecamente discontinuo a lo largo de algún corte de rama, por lo que un remedio es la expresión polar continua anterior. Otro es juntar múltiples integrales para hacer que el argumento varíe continuamente). Así que tenemos \begin{align}\oint_\gamma \frac{1}{z-a} dz &= \int_0^1 \frac{r'(t)e^{i\theta(t)} + i\theta'(t)r(t)e^{i\theta(t)}}{r(t)e^{i\theta(t)}} dt\\ &=\int_0^1 \frac{r'(t)}{r(t)} + i\theta'(t) dt\\ &=\log(r(1))-\log(r(0)) + i\left[\theta(1) - \theta(0)\right]\end{align} Dado que la curva es cerrada, se deduce que $r(1) = r(0)$ por lo que la expresión se evalúa como $$i\left[\theta(1) - \theta(0)\right]= 2\pi i\cdot\mathrm{Wnd}(a,\ \gamma)$$ que es la justificación de la definición integral.

Answer 2

Voy a explicar lo que ocurre para $a=0$ , en general si trabajas en algún otro $a$ sólo tiene que sustituir $f(z)$ por $f(z+a)$ y se reduce al caso siguiente.

Es fácil ver que si $C$ es el círculo $C(t) =e^{it} \,;\, 0 \leq t \leq 2 \pi$ entonces

$$\int_{C} \frac{1}{z} = 2 \pi i$$

Ahora bien, si se combina este resultado con el hecho de que $\frac{1}{z}$ es analítica en $\mathbb{C} \backslash \{ 0 \} $ obtendrá el resultado deseado.

Podrías sustituir $f(z)= \frac{1}{z}$ por cualquier función que sea analítica en $\mathbb{C} \backslash \{ 0 \} $ y con la propiedad de que $\int_{C} f(z) = 2 \pi i$ donde $C$ es el círculo anterior. En cualquier caso, si buscas dicha función, y escribes su serie de Laurent, obtendrás $f(z)=\frac{1}{z} +$ analítica, y la parte analítica es irrelevante para la integración.

P.D. Creo que se puede demostrar que, hasta la adición por una función entera, la única función meromorfa $f(z)$ que tiene la propiedad de que $\int_\gamma f(z-a) =$ número de bobinado en $a$ es $f(z) =\frac{1}{z}$ .

Answer 3

Sobre la parte fácil de ver en Respuesta de @N.S. en esta misma página. Sobre el círculo unitario $1/z = \cos(t)-i\sin(t)$ integrando en $0\leq t\leq 2\pi$ es claramente cero. La confusión que puede surgir es el integrando implícito $\mathrm{d}z$ .

$$\int_{C} \frac{1}{z} \; \mathrm{d}z$$

Al integrar en $\mathbb{R}^2$ , $\mathrm{d}x$ es una función que refleja cómo $x$ variable varía a medida que nos movemos a lo largo de la curva. La dirección $\mathrm{d}z$ es análogo, salvo que $z$ es compleja, lo que puede resultar difícil de visualizar.

Una buena forma de ver lo que ocurre es imaginar que aproximamos la integral de contorno utilizando rectángulos por analogía con la integral de Riemann: se sitúan con sus bases a lo largo de la curva en el plano complejo, y la altura es la función que estamos integrando. Ahora bien, al integrar en $\mathbb{R}^2$ la base del rectángulo tiene la longitud de ese lado, pero en $\mathbb{C}$ es el número complejo correspondiente a su base. Si los vértices del rectángulo sobre la curva son números complejos $a$ y $b$ entonces la contribución a la suma será $\text{height} \cdot (b-a)$ (cf. $\text{height} \cdot |b-a|$ si estuviéramos integrando a lo largo de una curva como en $\mathbb{R}^2$ ).

Pero entonces también podríamos utilizar dos rectángulos para cada uno de esos $a$ y $b$ una con la base paralela al eje real y la otra con la base paralela al eje imaginario. Rodeando el círculo unitario de la forma habitual, vemos que las bases de los rectángulos de base real se comportan exactamente como $(-\sin(t))$ mientras que las bases de los rectángulos de base imaginaria se comportan exactamente como $i\cos(t)$ si los trazamos sobre $t$ en nuestra parametrización. Ahora, escalemos eso por $\text{Re}\{1/z\} = \cos(t)$ y, sólo con un croquis podemos ver que va a dar $i\pi$ . Del mismo modo, $\text{Im}\{1/z\}$ escalado por esto da otro $i\pi$ .

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Sobre pasar de la integración del círculo unitario a cualquier curva.

Si seguimos pensando en lo que ocurre cuando partimos de un círculo y lo deformamos ligeramente, resulta evidente que tenemos que plantearnos este problema en coordenadas polares.

(Esto pretende ser sobre la intuición, así que es un poco flojo).

Considere lo que ocurre cuando integramos $1/z\;\text{d}z$ a lo largo de una pequeña parte de una curva que se dirige precisamente en dirección radial. Si se encuentra en un punto $a + ib$ entonces $1/z$ es un conjugado a escala de $\text{d}z$ por lo que la contribución a la integral será puramente real. Si la curva fuera en la dirección ortogonal (es decir, la $\theta$ dirección), entonces multiplicamos $\text{d}z$ por $i$ (es decir, girar 90°), y esa contribución será puramente imaginaria. Esto significa que podemos tratar estas dos direcciones (radial y azimutal) por separado.

Ahora, aproximando la curva mediante pequeños pasos puramente radiales y pequeños pasos puramente azimutales, consideremos un sector. O, de hecho, consideremos círculos concéntricos. A lo largo de un círculo de radio $r$ la magnitud de $1/z$ es $1/r$ . Por lo tanto, a medida que aumentamos el círculo, el valor de la integral no cambia: la longitud del camino aumenta proporcionalmente a $r$ mientras que la magnitud del integrando disminuye proporcionalmente a $r$ . Por lo tanto, si aproximamos una curva utilizando sectores, podemos mover la parte de la curva en cualquier sector sin afectar a su contribución a la integral. Como tal, esta integral puede utilizarse para medir el ángulo que recorre alguien que camina por la curva con respecto al origen, factorizando todos los demás detalles de la trayectoria que sigue.

Answer 4

Recientemente, estoy aprendiendo Análisis Complejo. Utilizamos "Análisis complejo para matemáticas e ingeniería" de John H. Mathews y Russell W. Howell como libro de texto. Y tenemos la definición de número de Winding de una manera ligeramente diferente que es una extensión de El principio de argumentación . Véase El principio de argumentación y el teorema de Rouchés . Z y P son los números de ceros y polos respectivamente. Y entonces, averiguamos el significado geométrico de la integral, y descubrimos que en realidad está contando la historia del ángulo que f(C) gira alrededor de un punto a, que es la singularidad. Toda la historia reside en el concepto de logaritmo complejo, donde logz=ln|z|+iargz, donde argz es el ángulo. Por lo tanto, si sustituimos f(z) por z podemos obtener la definición de número sinuoso de la curva cerrada C.