Prueba $f(x)= 1$ para $x \in \mathbb{Q}$ y $f(x)=0$ para $x \notin \mathbb{Q}$ no es integrable.

Question

Quiero demostrar que

$$f(x) = \begin{cases} 1 \text{ for } x \in \mathbb{Q}\\ 0 \text{ for } x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$$
no es integrable en $[0,1]$ .

Ahora estoy en el punto del libro en el que acabamos de aprender sobre la integrabilidad de Riemann, con particiones. Hasta ahora, esta es la definición que hemos utilizado:

Una función $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ i $$\forall \epsilon > 0, \exists P: \overline{S}-\underline{S} < \epsilon,$$ donde $P$ es una partición del intervalo y $\overline{S}$ y $\underline{S}$ son sumas superiores e inferiores de la función.

Ahora bien, si tengo razón, tengo que demostrar $$\exists \epsilon > 0, \forall P: \overline{S}-\underline{S} > \epsilon,$$ para establecer que la función no es integrable. Y aquí es donde estoy luchando. Tengo la idea de que, aunque el intervalo en sí está acotado, el número de $x \in \mathbb{Q}$ en $[0,1]$ no está acotada. Entonces, ¿cómo podría elegir un $\epsilon$ de forma que todas las particiones den como resultado una diferencia mayor? Si por el contrario el número hubiera sido finitie, digamos $n$ dejaría que $\epsilon > n \cdot 1 = n$ y entonces todas las particiones cumplirían este criterio (al menos, eso creo).

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Para esa función, cada suma superior es igual a $1$ y cada suma inferior es igual a $0$ . Por lo tanto, tome cualquier $\varepsilon\in(0,1]$ .

Answer 2

En el intervalo $[a,b] $ todas las sumas superiores de Riemann son $(b-a)$ y las sumas de Riemann inferiores son cero. No hay secuencias de sumas superiores e inferiores que converjan a un límite común.

Por lo tanto su función no es integrable en [a,b]