Cómo poner un número complejo en la forma a+ib si tiene exponente

Question

Así que estoy tratando de poner esto en la forma a+ib

$(1 + i)^{1000}$

(Sugerencia: Utiliza la forma polar del número).

Sé que la forma polar sin el exponente sería
$2(cos(/4)+isin(/4))$ ¿Debo añadir el exponente al final? No estoy seguro de cómo esto ayuda a conseguir que en a + ib forma

Answer 1

$$(1+i)^{1000}=((1+i)^2)^{500}=(2i)^{500}=(-4)^{250}=4^{250}+0i$$

Answer 2

La forma polar de la que habla la pista es $re^{i\theta}$ . Con esto obtenemos $(re^{i\theta})^\alpha=r^\alpha e^{i\theta\alpha}$ . En tu caso, $\theta=\pi/4$ así que como $4|1000$ la parte compleja azada. Esto nos deja con $|1+i|^{1000}=\sqrt{2}^{1000}=2^{500}$ .

Answer 3

Como te habrás imaginado, la forma polar es $\left(\sqrt{2}(\cos{(\pi/4)} + i\sin{(\pi/4)})\right)^{1000} = 2^{500}\left(\mathrm{e}^{i\pi/4}\right)^{1000} = 2^{50}\mathrm{e}^{i250\pi} = 2^{500}\mathrm{e}^{i\cdot0} = 2^{500}$ .

Answer 4

$$(1+i)^{1000}=e^{1000\bigr(\ln(1+i)\bigl)}$$

Utilice $$\ln(1+i)=\frac{\pi i}{4}+\frac{\ln(2)}{2}$$

$$(1+i)^{1000}=2^{500}e^{250\pi i}=2^{500}$$