Encontrar un $N(\epsilon)$ en esta demostración de la secuencia de Cauchy

Question

Esto es sólo una pequeña parte de una demostración de la secuencia de Cauchy que estoy haciendo.

Dado un $\epsilon>0$ Necesito encontrar un $N(\epsilon)$ s $$\left|\arctan\left(\frac{n-m}{1+nm}\right)\right|<\epsilon$$ siempre que $n,\ m\ge N$ .

Entiendo que el denominador del $\arctan$ argumento sería mucho mayor que el numerador, pero estoy teniendo problemas para construir un $\epsilon-N$ prueba.

Answer 1

Pista. Tenga en cuenta que si $n\geq m>0$ entonces $$0\leq \arctan\left(\frac{n-m}{1+nm}\right)\leq \frac{n-m}{1+nm}\leq\frac{1}{m}.$$