¿El orden, la red de subgrupos y la red de grupos factoriales determinan unívocamente un grupo hasta el isomorfismo?

Question

Si tenemos dos celosías (parcialmente ordenadas) - una para subgrupos, otra para grupos factoriales, y sabemos el orden del grupo que queremos tener estas celosías de subgrupos y grupos factoriales, ¿es tal grupo único hasta isomorfismo (si existe)? ¿O hay algún contraejemplo?

Si es así, ¿existen condiciones suficientes en los retículos de orden y subgrupo para garantizar la unicidad? De otra manera - ¿qué pasa si ahora lattice para subgrupo y grupo de automorfismo de grupo; es que el grupo determinado de forma única por esa información?

Gracias por la ayuda. (perdón por el inglés)

Answer 1

No la red de subgrupos, la red de subgrupos normales, el orden del grupo y el grupo de automorfismo no determinan (ni siquiera conjuntamente) el tipo de isomorfismo de un grupo finito.

Toma $G = \mathrm{SmallGroup}(243, 19)$ y $H = \mathrm{SmallGroup}(243, 20)$ . Existe una biyección $f \colon L(G) \to L(H)$ entre sus retículos de subgrupos tales que:

• $|X| = |f(X)|$ ,
• $X ≅ f(X)$ a menos que $X = G$ ,
• $X ≤ Y$ si $f(X) ≤ f(Y)$ ,
• $X ⊴ G$ si $f(X) ⊴ f(G) = H$ ,
• $G/X ≅ H/f(X)$ siempre que $X ≠ 1$ es normal.

Además, $\operatorname{Aut}(G) ≅ \operatorname{Aut}(H)$ . El cuarto punto muestra, en particular, que $f$ induce un isomorfismo entre la red de grupos cocientes de $G$ y la red de grupos cocientes de $H$ . Los puntos segundo y quinto muestran que el isomorfismo respeta todas las propiedades de los subgrupos como grupos abstractos.

Los grupos $G$ y $H$ hacer presentaciones

$$\begin{align*} G &= \bigl\langle a, b, c \mid a^{27} = b^3 = c^3 = 1,\ ba = abc,\ ca = acz,\ cb = bcz \bigr\rangle\text{ where $z = a^9$} \,, \\ H &= \bigl\langle a, b, c \mid a^{27} = b^3 = c^3 = 1,\ ba = abc,\ ca = acz,\ cb = bcz \bigr\rangle\text{ where $z = a^{-9}$} \,. \end{align*}$$

La función $f$ es inducida por una biyección de los conjuntos subyacentes:

• $f(a^i b^j c^k) = a^i b^j c^k$ .

No existen tales grupos de orden que dividan $64$ (incluso sólo teniendo un isomorfismo de retículos de subgrupos respetando los subgrupos normales).