No la red de subgrupos, la red de subgrupos normales, el orden del grupo y el grupo de automorfismo no determinan (ni siquiera conjuntamente) el tipo de isomorfismo de un grupo finito.
Toma $G = \mathrm{SmallGroup}(243, 19)$ y $H = \mathrm{SmallGroup}(243, 20)$ . Existe una biyección $f \colon L(G) \to L(H)$ entre sus retículos de subgrupos tales que:
- $|X| = |f(X)|$ ,
- $X ≅ f(X)$ a menos que $X = G$ ,
- $X ≤ Y$ si $f(X) ≤ f(Y)$ ,
- $X ⊴ G$ si $f(X) ⊴ f(G) = H$ ,
- $G/X ≅ H/f(X)$ siempre que $X ≠ 1$ es normal.
Además, $\operatorname{Aut}(G) ≅ \operatorname{Aut}(H)$ . El cuarto punto muestra, en particular, que $f$ induce un isomorfismo entre la red de grupos cocientes de $G$ y la red de grupos cocientes de $H$ . Los puntos segundo y quinto muestran que el isomorfismo respeta todas las propiedades de los subgrupos como grupos abstractos.
Los grupos $G$ y $H$ hacer presentaciones
\begin{align*} G &= \bigl\langle a, b, c \mid a^{27} = b^3 = c^3 = 1,\ ba = abc,\ ca = acz,\ cb = bcz \bigr\rangle\text{ where $z = a^9$} \,, \\ H &= \bigl\langle a, b, c \mid a^{27} = b^3 = c^3 = 1,\ ba = abc,\ ca = acz,\ cb = bcz \bigr\rangle\text{ where $z = a^{-9}$} \,. \end{align*}
La función $f$ es inducida por una biyección de los conjuntos subyacentes:
- $f(a^i b^j c^k) = a^i b^j c^k$ .
No existen tales grupos de orden que dividan $64$ (incluso sólo teniendo un isomorfismo de retículos de subgrupos respetando los subgrupos normales).
