Supuestos para la definición de la medida Radón

Question

Mi referencia es L. Simon's Conferencias sobre teoría de medidas geométricas . Define una medida sobre un conjunto $X$ como una función contablemente subaditiva $\mu:2^X\to[0,\infty]$ con $\mu(\emptyset)=0.$

En $X$ es un espacio topológico localmente compacto y separable, define una medida $\mu$ en $X$ es Radon si es Borel regular (es decir, todo conjunto está contenido en un conjunto Borel con la misma medida, y todos los conjuntos Borel son medibles) y finito en conjuntos compactos.

¿Por qué suponer que $X$ es localmente compacta y separable? Me parecen extraños.

Answer 1

En primer lugar, creo que $\mu$ sólo debe definirse en un subconjunto de $2^X$ es decir, los conjuntos de Borel.

En segundo lugar, creo que quieres una definición tal que el espacio de Banach de las medidas de Borel sea el dual de $C_0(X)$ las funciones continuas que convergen a $0$ en $\infty$ cuando $X$ está incrustada en su compactificación de un punto.

Según recuerdo, algunas de las condiciones pueden relajarse si se utilizan medidas de Baire. Los conjuntos Baire son el álgebra sigma mínima para la que las funciones continuas son medibles. No recuerdo con precisión lo que esto hace, pero esto podría permitir a uno para eliminar el supuesto de separables.

Sin compacidad local, la suposición de que la medida es finita en subconjuntos compactos probablemente pierde un poco de sentido. (O la topología en la compactación de un punto pierde sentido).